【组合数学】康托展开 学习笔记

康托展开

将 \(1...n\) 的所有排列按照字典序进行排序，某个排列的排名可以通过康托展开的方法求出。

原理

观察排列 \(2,3,1,4\) 和 \(2,3,4,1\)，发现第一个不同的位置是第三位，而且第一个排列的第三位比第二个小，根据字典序的性质，第一个排列的排名在第二个之前。

从这里我们也可以发现判断某个排列排名之前的排列数量的方法。对于 \(2,3,4,1\) 这个排列，我们逐位分析：

• 第一位：\(2\)，我们根据分类加法计数原理对所有排列进行分类：
  • 如果一个排列的第一位是 \(1\)，则后面三位可以任意排列，有 \(3!\) 种情况。
  • 如果一个排列的第一位是 \(3,4\)，显然后面如何排列都不满足条件。
  • 如果一个排列的第一位是 \(2\)，分为下一类。
• 第二位：\(3\)，我们再对第一位是 \(2\) 的排列进行分类：
  • 第二位是 \(1\)，后面的两个数可以任意排列，有 \(2!\) 种情况。
  • 第二位是 \(4\)，显然后面如何排列都不满足条件。
  • 第二位是 \(3\)，分为下一类
• 第三位：\(4\)：我们对前两位是 \(2,3\) 的排列进行分类：
  • 第三位是 \(1\) 对答案产生 \(1!\) 的贡献。
  • 第三位是 \(4\) 则是排列 \(2,3,4,1\)。

所以，最终的答案就是 \(1*3! + 1*2! + 1*1! = 9\)，有 \(9\) 个排列的字典序比这个排列小，所以这个排列的排名是 \(10\)。

由此可得比某排列的字典序小的排列数量：$$\sum_{i=1}^{n}(c_{a[i]} \times (n-i)!)$$
其中，\(c_{a[i]}=\sum_{j=i}^n [a[j]<a[i]]\)，表示第 \(i\) 个数后面比 \(a[i]\) 小的数，可以用树状数组计算。

代码实现

洛谷 P5367 【模板】康托展开

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long

const int N = 1e6 + 5, mod = 998244353;

int n, a[N];

int jc[N];

int t[N], ca[N];

int ans = 0;

void add(int id) {
    for (int i = id;i <= n;i += (i & (-i))) t[i]++;
}

int query(int id) {
    int ret = 0;
    for (int i = id;i;i -= (i & (-i))) ret += t[i];
    return ret;
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    #ifdef DEBUG
    clock_t t0 = clock();
    freopen("data.in", "r", stdin);
    freopen("data.out", "w", stdout);
    #endif

    // Don't stop. Don't hide. Follow the light, and you'll find tomorrow. 

    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];

    jc[0] = 1;
    for (int i = 1;i <= n;i++) jc[i] = (jc[i - 1] * i) % mod;

    for (int i = n;i;i--) {
        ca[i] = query(a[i]);
        add(a[i]);
    }

    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        ans = (ans + ca[i] * jc[n - i]) % mod;
    }

    cout << ans + 1 << endl;

    #ifdef DEBUG
    cerr << "Time used:" << clock() - t0 << "ms" << endl;
    #endif
    return 0;
}

逆康托展开

对康托展开的公式进行恒等变换：

参考资料 && 推荐题目

1. 康托展开 - OI Wiki