【图论】图的概念、存储和遍历 学习笔记
图论
图的概念
从数据结构的角度看，图可以看作一个多对多的数据存储结构。而结合图论算法，图就可以成为很多问题的载体。图论是数据结构与算法结合的产物。
OI Wiki 上给出的图相关概念比较全面，但是因为 OI 是民科各个地方的一些定义都不太一样，所以作大概了解即可。
图的存储
图的存储常用下面几种方式。
边目录。通常情况下，题目数据都是直接给出边的起点，终点和边权（如果有），则可以直接存储这些信息来存图。
邻接矩阵。用一个二维数组（矩阵）\(g[n][n]\) 来存图。在带权图中，\(g[u][v]=x\) 表示从点 \(u\) 到点 \(v\) 有一条权为 \(x\) 的图，\(g[u][v]=-inf\) 表示点 \(u\) 到点 \(v\) 没有边。在无权图中，\(g[u][v]\) 表示点 \(u\) 到点 \(v\) 是否有边。
邻接表。将所有边按点归类存储。用链表实现的邻接表也叫链式前向星。
下面给出存图的代码：
洛谷 B3643 图的存储 （参考代码）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
int n, m;
int g1[1005][1005];
vector<int> g2[1005];
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
#ifndef ONLINE_JUDGE
clock_t t0 = clock();
freopen("data.in", "r", stdin);
freopen("data.out", "w", stdout);
#endif
cin >> n >> m;
for (int i = 1;i <= m;i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
g1[u][v] = g1[v][u] = 1;
g2[u].push_back(v);
g2[v].push_back(u);
}
for (int i = 1;i <= n;i++) {
for (int j = 1;j <= n;j++) {
cout << g1[i][j] << ' ';
}
cout << endl;
}
for (int i = 1;i <= n;i++) {
sort(g2[i].begin(), g2[i].end());
cout << g2[i].size() << ' ';
for (int& j : g2[i]) cout << j << ' ';
cout << endl;
}
// Don't stop. Don't hide. Follow the light, and you'll find tomorrow.
#ifndef ONLINE_JUDGE
cerr << "Time used:" << clock() - t0 << "ms" << endl;
#endif
return 0;
}
图的遍历
不重复、不遗漏访问图上每个点，称为图的遍历。
遍历图时通常使用邻接表存储图。遍历图的方式通常有两种：深度优先遍历和广度优先遍历，分别用栈（递归）和队列实现。
下面是两种遍历方式的代码实现：
洛谷 P5318 查找文献 （参考代码）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
const int N = 1e5 + 5;
vector<int> g[N];
int n, m;
bool vis[N];
int dfs(int p) {
vis[p] = 1;
cout << p << ' ';
for (int& i : g[p]) {
if (vis[i]) continue;
dfs(i);
}
}
void bfs() {
queue<int> q;
q.push(1);
vis[1] = 1;
while (!q.empty()) {
int p = q.front(); q.pop();
cout << p << ' ';
// vis[p] = 1;
for (int& i : g[p]) {
if (vis[i]) continue;
vis[i] = 1;
q.push(i);
}
}
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
#ifndef ONLINE_JUDGE
clock_t t0 = clock();
freopen("data.in", "r", stdin);
freopen("data.out", "w", stdout);
#endif
// Don't stop. Don't hide. Follow the light, and you'll find tomorrow.
cin >> n >> m;
for (int i = 1;i <= m;i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
g[u].push_back(v);
}
for (int i = 1;i <= n;i++) {
sort(g[i].begin(), g[i].end());
}
dfs(1);
cout << endl;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
bfs();
#ifndef ONLINE_JUDGE
cerr << "Time used:" << clock() - t0 << "ms" << endl;
#endif
return 0;
}
例题
洛谷 P3916 图的遍历
从一个点出发对图进行深度优先遍历，时间复杂度为 \(O(N + M)\)。
若从每个点开始进行一次遍历，时间复杂度无法通过此题。
正难则反。考虑编号大的点能从哪些点到达。对原图建立反图，从节点大小由大到小遍历，找出这个点可以从哪些点到达，则这些点能到达的最大点是这个点。
参考代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
const int N = 1e5 + 5;
vector<int> g[N];
int n, m;
int ans[N];
void dfs(int p, int u) { // 可以到达点 u 的点
ans[p] = max(ans[p], u);
for (int& i : g[p]) {
if (ans[i]) continue;
dfs(i, u);
}
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
#ifndef ONLINE_JUDGE
clock_t t0 = clock();
freopen("data.in", "r", stdin);
freopen("data.out", "w", stdout);
#endif
// Don't stop. Don't hide. Follow the light, and you'll find tomorrow.
cin >> n >> m;
for (int i = 1;i <= m;i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
g[v].push_back(u); // 建立反图
}
for (int i = n;i > 0;i--) dfs(i, i);
for (int i = 1;i <= n;i++) cout << ans[i] << ' ';
#ifndef ONLINE_JUDGE
cerr << "Time used:" << clock() - t0 << "ms" << endl;
#endif
return 0;
}
P1113 杂务
对原关系建立一个有向图，每个点建立指向必须完成他才能进行的任务，然后从对图进行 dfs 就可以求出完成每个点及其之后杂物的最少时间。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
const int N = 1e4 + 5;
vector<int> g[N];
int n, t[N];
int d[N];
int dfs(int x) {
if (d[x]) return d[x];
for (int& v : g[x]) d[x] = max(d[x], dfs(v));
d[x] += t[x];
return d[x];
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
#ifdef DEBUG
clock_t t0 = clock();
freopen("data.in", "r", stdin);
freopen("data.out", "w", stdout);
#endif
// Don't stop. Don't hide. Follow the light, and you'll find tomorrow.
cin >> n;
for (int i = 1;i <= n;i++) {
int u, v;
cin >> u >> t[i];
while (cin >> v, v) {
g[v].push_back(u);
}
}
int ans = 0;
for (int i = 1;i <= n;i++) {
ans = max(ans, dfs(i));
}
cout << ans << endl;
#ifdef DEBUG
cerr << "Time used:" << clock() - t0 << "ms" << endl;
#endif
return 0;
}
P4017 最大食物链计数
对原图建立反图，用记忆化搜索求出到达每个点的食物链数量，然后将所有终点的数量相加得到答案。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
const int N = 5005, M = 5e5 + 5, mod = 80112002;
int in[N], out[N];
int n, m;
vector<int> g[N];
int f[N];
int dfs(int x) {
if (f[x]) return f[x];
int ans = 0;
for (int& v : g[x]) {
ans = (ans + dfs(v)) % mod;
}
return f[x] = ans;
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
#ifdef DEBUG
clock_t t0 = clock();
freopen("data.in", "r", stdin);
freopen("data.out", "w", stdout);
#endif
// Don't stop. Don't hide. Follow the light, and you'll find tomorrow.
cin >> n >> m;
for (int i = 1, u, v;i <= m;i++) {
cin >> u >> v;
out[u]++, in[v]++;
g[v].push_back(u);
}
for (int i = 1;i <= n;i++) {
if (in[i] == 0)f[i] = 1;
}
for (int i = 1;i <= n;i++) dfs(i);
int ans = 0;
for (int i = 1;i <= n;i++) if (out[i] == 0) ans = (ans + f[i]) % mod;
cout << ans << endl;
#ifdef DEBUG
cerr << "Time used:" << clock() - t0 << "ms" << endl;
#endif
return 0;
}
拓展阅读 && 参考资料 && 推荐题目
- 图论部分简介 - OI Wiki
- 《深入浅出程序设计竞赛（基础篇）》 第 18 章 图的基本应用
- 《算法竞赛进阶指南》 0x21 树和图的遍历
