【BZOJ2154】Crash的数字表格

算是学会反演了……（其实挺好学的一天就能学会……

原题：

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

 

反演嘛，直接推公式

（Atom和即时预览的latex插件真好用

（治好了我多年的公式恐惧症~~（模仿po姐

然后按照莫比乌斯反演经典的计算方法for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)  j=min(n/(n/i),m/(m/i));O(√n*√n)=O(n)计算就可以了

需要注意的是因为计算过程中是在模意义下计算的，所以会出现负数（但是因为计算是在模意义下进行的所以答案确实是对的），最后需要加模数再取模

（反演其实挺好学的一天就能学会（就学个反演都拖了一年我以前真是钍氧钍砷钋熵钛镎铱钨

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long
const int mo=20101009;
int rd(){int z=0,mk=1;  char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')mk=-1;  ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){z=(z<<3)+(z<<1)+ch-'0';  ch=getchar();}
    return z*mk;
}
void wt(int x){if(x<0)  putchar('-'),x=-x;
    int wtp=0;  char wtc[22];
    while(x)  wtc[++wtp]=(x%10)+'0',x/=10;
    while(wtp)  putchar(wtc[wtp--]);
}
int n,m;
int prm[11000000],prp=0,miu[11000000];  bool prg[11000000];
int s[11000000];
void gtmiu(){
    fill(prg+1,prg+n+1,0);
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
    if(!prg[i])  prm[++prp]=i,miu[i]=-1;
    for(int j=1;j<=prp && i*prm[j]<=n;++j){
        prg[i*prm[j]]=true;
        if(!(i%prm[j])){  miu[i*prm[j]]=0;  break;}
        miu[i*prm[j]]=-miu[i];
    }
    }
    for(ll i=1;i<=n;++i)
    s[i]=(s[i-1]+(i*i*miu[i])%mo)%mo;
}
ll sm(ll x,ll y){  return (((x*(x+1)/2)%mo)*((y*(y+1)/2)%mo))%mo;}
ll cclt(int x,int y){
    if(x>y)  swap(x,y);
    ll bwl=0;
    for(ll i=1,j;i<=x;i=j+1){
    j=min(x/(x/i),y/(y/i));
    bwl=(bwl+((s[j]-s[i-1])*sm(x/i,y/i))%mo)%mo;
    }
    return bwl;
}
int main(){//freopen("ddd.in","r",stdin);
    cin>>n>>m;
    if(n>m)  swap(n,m);
    gtmiu();
    ll ans=0;
    for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1){
    j=min(n/(n/i),m/(m/i));
    ans=(ans+(((i+j)*(j-i+1)/2)%mo*cclt(n/i,m/i))%mo)%mo;
    }
    cout<<(ans+mo)%mo<<endl;
    return 0;
}