【CQOI2008】中位数

题不难，但是思路有意思，这个是我自己想出来的OvO

原题：

给出1~n的一个排列，统计该排列有多少个长度为奇数的连续子序列的中位数是b。中位数是指把所有元素从小到大排列后，位于中间的数。

n<=100000

 

刚看这道题的时候看n滋瓷nlogn的复杂度，又是维护区间关系的，觉得应该要用数据结构

然后开始想数据结构，思考中位数的特殊性，题目中限定子序列的长度为奇数，b是一个长度为奇数的序列的中位数就说明在这个序列中比b大的数和比b小的数相等

子序列中的东西有多少个，这个可以用前缀搞

然后发现让前缀中比b大的数和比b小的数做差，如果两个前缀和相等的话，说明这个这两个前缀和中间的区间比b大的数和比b小的数相等

证明的话可以设前缀和a，b比b大和比b小的数分别为(x1,y1)，(x2,y2)，差的前缀和为y1-x1，y2-x2，这两个前缀和中间比b大的数有x2-x1，比b小的有y2-y1，如果两个差的前缀和相等，则y1-x2=y2-x2，移项就可以得到x2-x1=y2-y1，满足子序列中比b大的数个数和比b小的数个数相等，即这个子序列的中位数就是b

子序列长度为奇数的条件很好满足，因为我们是两个前缀和相减，所以可以把前缀和分成两份，分别是右顶点为奇数和偶数的前缀和，让两个奇偶性不同的前缀和相减就可以了

具体怎么搞的话，就是搞一个cnt记录直到第i个数比b大的数个数减比b小的数个数是多少，每次看和i奇偶性相反，值为cnt的前缀和个数有多少个，加到答案上即可

不用记录前缀和，直接搞一个计数，s[i][j]表示值为i，奇偶性为j的前缀和有多少个就可以辣

两个前缀和的值相等但是这两个前缀和中间的子序列中没有出现b的情况是不存在的，因为子序列一定是奇数，没有b出现的话，一个数要么比b大，要么比b小，奇数个数没法平分

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
int read(){int z=0,mark=1;  char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')mark=-1;  ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){z=(z<<3)+(z<<1)+ch-'0';  ch=getchar();}
    return z*mark;
}
int n,m,s[210000][2];
int main(){//freopen("ddd.in","r",stdin);
    cin>>n>>m;
    int u,cnt=0,ans=0;
    s[n][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        u=read();
        if(u!=m)  cnt+=u>m?1:-1;
        ans+=s[cnt+n][i&1^1];//先与1判断奇偶，然后再^1取到和i奇偶性相反的奇偶性
        s[cnt+n][i&1]++;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}