【HAOI2010】订货

可以DP也可以是费用流，然而被我用非常简单的DP破了【开心】

原题：

某公司估计市场在第i个月对某产品的需求量为Ui，已知在第i月该产品的订货单价为di，上个月月底未销完的单位产品要付存贮费用m，假定第一月月初的库存量为零，第n月月底的库存量也为零，问如何安排这n个月订购计划，才能使成本最低？每月月初订购，订购后产品立即到货，进库并供应市场，于当月被售掉则不必付存贮费。假设仓库容量为S。

0<=n<=50,0<=m<=10,0<=S<=10000,0<=Ui<=10000,0<=di<=100

 

恩紫萱的讲解说要用队列优化DP，我太弱没看懂，自己想出了一个我觉得比较妙的方法DP掉了

核心思路是在买东西的时候f[i]只与f[i-1]的最优值有关（注意是最优值）

然后要买的时候从1到S顺推，f[i]=min(f[i],f[i-1]+d[i])

恩原理我语文不好，直接丢个图吧

可以理解为f[i-1]代表了1到i-1所有的方案，但是都没有f[i]优，再往上考虑的话，由于增加的费用都是一样的，所以和f[1]到f[i-1]有关的方案不会优于f[i]相关的方案，就只考虑f[i]了

如果f[i]不是更优，f[i-1]代表了f[1]到f[i-1]的方案，只管使用即可

然后还有许多需要注意的细节（我就是因为细节问题拖了很久才A quq）

首先货物是可以进货不入库直接卖，不占用仓库空间，所以实际上仓库有M+a[i]的储存空间（每个月的需求也可能超过仓库容量），然后每个月结束的时候f中1到M不用处理，下个月直接转移即可，但是M+1到M+a[i]这一段一定要处理成正无穷，不然会影响到下个月（我就是因为这个细节卡了一下午，差点弃疗quq）

还有更多的细节问题，大家自己体验吧一。一

DP代码非常短

代码（DP）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int read(){int z=0,mark=1;  char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')mark=-1;  ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){z=(z<<3)+(z<<1)+ch-'0';  ch=getchar();}
    return z*mark;
}
const int oo=168430090;
int n,m,ns;  int a[110],b[110];
int f[21000];
int main(){//freopen("ddd.in","r",stdin);
    memset(f,10,sizeof(f));
    cin>>n>>ns>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)  a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)  b[i]=read();
    f[0]=0;  a[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++)  f[j]=f[j+a[i-1]]+j*ns;
        for(int j=m+1;j<=m+a[i-1];j++)  f[j]=oo;
        for(int j=1;j<=m+a[i];j++)  f[j]=min(f[j],f[j-1]+b[i]);
    }
    cout<<f[a[n]]<<endl;
    return 0;
}

======================================================下面是费用流======================================================

至于费用流呐，建图也非常好想

首先利用割的思想，每个月到汇一条流量为需求，费用0的边，割掉这条边表示这个月的费用满足了

然后源到每个月一条流量正无穷，费用为这个月进货费用的边，表示物品可以随意买

每个月到下个月一条流量为仓库容量，费用为储存话费的边，表示上个月的货可以继承到下个月

至于我是怎么想出来的……直觉……我觉得还要继续发掘一下这其中潜在的思路规律

代码也很简单，标准的费用流模板：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int read(){int z=0,mark=1;  char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')mark=-1;  ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){z=(z<<3)+(z<<1)+ch-'0';  ch=getchar();}
    return z*mark;
}
const int oo=168430090;
struct ddd{int next,y,evalue,rev,cost;}e[1100000];  int LINK[510000],ltop=0;
inline void insert(int x,int y,int z,int _cost){
    e[++ltop].next=LINK[x];LINK[x]=ltop;e[ltop].y=y;e[ltop].evalue=z;e[ltop].rev=ltop+1;e[ltop].cost=_cost;
    e[++ltop].next=LINK[y];LINK[y]=ltop;e[ltop].y=x;e[ltop].evalue=0;e[ltop].rev=ltop-1;e[ltop].cost=-_cost;
}
int n,m,ns;  int s,t;
int dist[510000];
int QUEUE[510000],head=0;  bool visited[510000];
int last[510000],last_e[510000];
bool spfa(){
    memset(visited,0,sizeof(visited));
    memset(dist,10,sizeof(dist));
    QUEUE[head=1]=s;  dist[s]=0;
    for(int k=1;k<=head;k++){
        for(int i=LINK[QUEUE[k]];i;i=e[i].next)
            if(e[i].evalue && dist[QUEUE[k]]+e[i].cost<dist[e[i].y]){
                dist[e[i].y]=dist[QUEUE[k]]+e[i].cost;
                last[e[i].y]=QUEUE[k],last_e[e[i].y]=i;
                if(!visited[e[i].y])  QUEUE[++head]=e[i].y,visited[e[i].y]=true;
            }
        visited[QUEUE[k]]=false;
    }
    return dist[t]<oo;
}
int cost_flow(){
    int bowl=0;
    while(spfa()){
        int min_flow=oo;
        for(int i=t;i!=s;i=last[i])  min_flow=min(min_flow,e[last_e[i]].evalue);
        for(int i=t;i!=s;i=last[i]){
            bowl+=min_flow*e[last_e[i]].cost;
            e[last_e[i]].evalue-=min_flow,e[e[last_e[i]].rev].evalue+=min_flow;
        }
    }
    return bowl;
}
int main(){//freopen("ddd.in","r",stdin);
    cin>>n>>ns>>m;  s=0,t=n+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)  insert(i,t,read(),0);
    for(int i=1;i<=n;i++)  insert(s,i,oo,read());
    for(int i=1;i<n;i++)  insert(i,i+1,m,ns);
    cout<<cost_flow()<<endl;
    return 0;
}