【P1326】超级教主
DP优化
原题:
LHX教主很能跳,因为Orz他的人太多了。教主跳需要消耗能量,每跳1米就会消耗1点能量,如果教主有很多能量就能跳很高。
教主为了收集能量,来到了一个神秘的地方,这个地方凡人是进不来的。在这里,教主的正上方每100米处就有一个能量球(也就是这些能量球位于海拔100,200,300……米处),每个能量球所能提供的能量是不同的,一共有N个能量球(也就是最后一个能量球在N×100米处)。教主为了想收集能量,想跳着吃完所有的能量球。教主可以自由控制他每次跳的高度,接着他跳起把这个高度以下的能量球都吃了,他便能获得能量球内的能量,接着吃到的能量球消失。教主不会轻功,教主不会二段跳,所以教主不能因新吃到的能量而变化此次跳跃的高度。并且教主还是生活在地球上的,所以教主每次跳完都会掉下来。
问教主若要吃完所有的能量球,最多还能保留多少能量。
N≤2000000
保证对于所有数据,教主都能吃到所有的能量球,并且能量球包含的能量之和不超过2^31-1。
sum[i]表示a[i]的前缀和,很容易推出状态转移方程:f[i]=max{j<i && f[j]>=i*100 | f[j]+sum[i]-sum[j]-i*100}
但是数据达到2000000,n^2会T,这是后就要优化
DP优化方法有很多,常用的是记录可行决策然后二分,单调队列,斜率优化,我这么弱斜率优化当然不会,这题似乎不符合单调性质,所以我们搞单调队列
上面的状态转移方程↑中sum[i]-i*100是不会变的,需要考虑的就是f[j]-sum[j]
就可以维护单调队列:如果f[i]>f[队头]就进队,f[j]<i*100的出对,然后在队里找就行了
然而依旧会T
书上说f[i]-s[i]单调递减的,过程比较长,有兴趣的同学可以试着自己推到(逃
又因为i*100是单调递增的,所以只需要记录一个temp表示上一个用到的决策点,从temp往后找到一个f[j]>=i*100就行了
因为f[j]-sum[j]单调递减且i*100单调递增,所以如果有f[j]>=i*100的f[j]>=(i-1)*100也肯定满足,因此从直接从temp开始找就行了,不用管temp前面的
单调性这种东西给数据打个表比较容易发现,优化DP时打个表挺好的
代码;
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1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstring> 5 #include<cmath> 6 using namespace std; 7 int read(){int z=0,mark=1; char ch=getchar(); 8 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')mark=-1; ch=getchar();} 9 while(ch>='0'&&ch<='9'){z=(z<<3)+(z<<1)+ch-'0'; ch=getchar();} 10 return z*mark; 11 } 12 int n,m,a[2100000]; 13 int sum[2100000]; 14 int f[2100000]; 15 int temp; 16 int main(){//freopen("ddd.in","r",stdin); 17 memset(f,0,sizeof(f)); 18 cin>>n>>m; 19 sum[0]=0; 20 for(int i=1;i<=n;i++){ a[i]=read(); sum[i]=a[i]+sum[i-1];} 21 f[0]=m; temp=0; 22 for(int i=1;i<=n;i++){ 23 for(;temp<i;temp++)if(f[temp]>=i*100) break; 24 f[i]=f[temp]+sum[i]-sum[temp]-i*100; 25 } 26 cout<<f[n]<<endl; 27 return 0; 28 }