2024北京多校联训游记

Day $-\mathrm{\infty }$

NOIP考的十分炸裂，一道题都没做出来，结果下来 $40min$ 就切掉了第 $2$ 题？？？这时 $hfu$ 通知有意向的同学可以去参加在北京的多校联训。经过一番思想斗争后，还是决定去参加一下，毕竟技多不压身，且基础知识也整理的差不多了。

不过大佬xjybscpx还是因为文化课成绩没有来。

我怎么记得你上次数学才考了 $138$ 分

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Day 0

出发去北京。

记得上次坐飞机还是在三年级，还是有点不习惯飞机的颠簸，况且班上一直有人祝我一路坠机，不过还算开的比较平稳。

感觉飞机餐是四川师傅做的，有点辣味，但不多。

晚上吃涮羊肉，怎么感觉没有成都的好吃，估计任何食物到四川来都得改头换面。

玩谁是卧底，十多次只当了一次卧底，但次次都被 yt 故意不小心误判成是间谍，结果次次 yt 都是间谍，会玩。

吃完饭赶往酒店，感觉集训的这个酒店就是为研学而设置的，普通人甚至无法预订。听说原先北京的机场就在这附近，这座酒店原先就是给航空人员准备的，稀奇。酒店的整体感觉还可以，就是这羽绒枕的内芯老是要跑出来，建议洗完多拍打一下 \kel

床铺太靠近暖气，太热，而且经常因为口渴而醒。于是狂炫 $500ml$ 的水，于是又起夜了好几道qwq

Day 1

今天将数学，一开始讲多项式快速幂时还勉强能跟得上，后来讲到常系数齐次线性递推时就一直在犯糊涂，似乎的确是线性代数与多项式结合起来。感觉之前多项式与线性代数就掌握的不太牢，现在感觉更蒙蔽了。

后来讲到容斥系数，怎么感觉又把多项式与组合数学结合起来了，要是再与计算几何和数论加入进来，不是把数学的一大家子全都包含进来啦？%%%今天的讲题人。

下午不敢懈怠，赶紧去熟悉了一下暑假讲的线性代数的知识，填了一下坑。结果发现小柯暑假时居然讲过一些今天的内容，完全记不到了。

怎么记语文课文就记得那么清楚，这些就记不到了呢？

晚上一直在头疼，不过睡了一觉就好了。

Day 2

今天打 THUPC，于是上午没上课，依然在整理线性代数的博客，然而依然没整理完，妈妈生的。

和 why、zxk 组队打 THUPC，三个人 NOIP 成绩加起来大概 $100$ 分，悲。不过三个臭皮匠，臭味都一样赛过诸葛亮。

准时开题，$2$ 分钟才切掉签到题，接着就开始寻找那一两道黄绿题，似乎是 $C$ 和 $J$，一道贪心，一道线段树，于是他俩都做题去了，我接着看题，总感觉 $L$ 题是支配树板题，结果看了 $1$ 个小时发现假了，如果该图没有支配点，或者支配点处没有分部，那就没法做了。

转去看别的题，基本把所有题都想了一圈，$2h$ 时发现 $I$ 题比较可做，是一个贪心加组合数学的题。但是需要排除掉提前结束比赛的一些情况，还要考虑比分可能是反的，这就导致分类讨论非常复杂，大概又写了 $2h$（代码能力十分需要提升），写出了一个 $5000$ 多字的屎山代码还调不出来，有点不慌。不过幸好这时 why 和 zxk 都把代码调出来了，稍微缓解了一下气氛。

这时我忽然考虑到可以加一些特判：

• 如果轮数小于 $22$，那么比赛一定结束不了；

• 如果轮数等于 $22$，那么最终比分一定为 $10:12$ 或 $12:10$，因此倒数第 $2$ 轮比分一定为 $10:11$ 或 $11:10$，随后就会发现倒数第 $3$ 轮的比分一定是 $10:10$；

• 如果轮数大于 $22$，那么比分一定到达了 $11:11$，后面就是一个人得 $1$ 分，另一个人又得 $1$ 分，最终一个人连得两分获胜，这是好统计答案的。而 $11:11$ 的上一轮一定是 $11:10$ 或 $10:11$，上上轮一定是 $10:10$。

考虑到已经将比分缩小成了 $10:10$，这是就不用考虑会提前结束比赛了，可以大大简化分类讨论。

但确实想出正解的时间太久了（和我考虑提高组 $T2$ 一样），最终没写完代码，遗憾离场。

不过后来得知像他们那些人均 $NOIP$ 的一两百分的队伍也只做出来了三四道题，心里要好受一点。不过既然可以达到更好，为什么不去冲一冲呢？看来还是我拖了我们团队的后腿，当众谢罪。

总有一个冠军，为什么不是我呢？——牢大

晚上听王浩旭讲课，讲得比较杂，贪心 + 博弈论 + 构造，不过此三者确实没有什么固定的模版，比较考思维。

听贪心还好，听到博弈论时，这不是王浩旭暑假给我们讲的吗？甚至题目和题解都一模一样。不过这次听确实比暑假要清楚一点。

后面讲到构造，就开始烧烤，前几道题还能勉强听懂，后两道就开始头疼，确实感觉构造特别考思维，甚至比 DP 还难，怪不得 $NOI$ 爱考。

Day 3

第一次考省选难度的联考，直接被薄纱了。

起床有点晚，到考场时差不多 $8$ 点了，$4$ 个半小时的比赛还剩 $4$ 个小时，不过即使多这半个小时，好像也没什么用。

浏览一下三道题，感觉 $T1$ 是贪心，$T2$ 是博弈论，$T3$ 是构造，鉴定为王浩旭出题，这顺序都一样。

当我浏览到第 $2$ 题时，忽然发现这不就是2024.10.19联考的 $T3$ 吗？很兴奋，不过再一看，$m$ 的范围从可爱的 $20$ 变成了也很可爱的 $2\times {10}^5$，这还怎么用广义矩乘啊！不过也想不到还有什么方法了，打了一个 $O(qk{\log }_{2}n)$ 的 DDP 就跑路了，预计有 $20$ 到 $30$ 分。

接着看 $T1$，感觉是个反悔贪心，我的思路就是先把每个物品放入价值最大的那个背包，每个背包中的物品再按价值从小到大弹出来直到物品数等于背包容量，再把弹出的物品放到另外两个背包中价格更大的一个中，把问题转化成两个背包，再重复该操作来做，不过到比赛结束都没想出来了。

出分了，$40$ 分，但是是 $cdqz$ 第一，唐。

下午听讲题，发现 $T1$ 把物品从背包弹出来时，只用考虑价值差，而不是绝对价值，而且正解是先将物品全部加入第 $1$ 个背包，这样后续处理要简单得多。

$T2$ 好像可以用分块做，而且特别好写，不过有点没听懂，决定后面再来写。

$T3$ 确实难想又难写，有时间再来看吧。

今日联考总结：2024.12.16联考

Day 4

今天依然考省选难度的联考，依然一道题都不会。

准时开题，第一题是神秘博弈论题，考虑了半天只考虑出了若每堆石子数量 $\ge 2$ 且石子堆数为偶数时 $B$ 必胜，于是打了一个 $n=1$ 和 $a_i=1$ 的性质就放掉了。

这时听到 lzh 已经切掉了第一题，强。

$T2$ 感觉和之前做过的某道题很想，就是每个点 $u$ 记录一下 $1$ 到 $u$ 的正着的字符串与反着的字符串，求 $u$ 到 $v$ 的字符串时，只用将 $1$ 到 $lca$ 的字符串从 $u$ 和 $v$ 的字符串中减掉，再拼在一起就可以了，但发现如果直接 $DP$，复杂度为 $O(q{n}^2)$，直接上天，但想了半天也没想出怎么做，于是又放掉了。

$T3$ 一打眼也有思路，满足条件的区间一定是有 $2$ 的幂个 $2$ 的幂，或者有 $2$ 的幂个 $1,1,2,4,8,\dots$ 的等比序列。第 $1$ 个是好求的，但第 $2$ 个死活求不出来，于是又双叒叕放掉了。

这是听说补发了 $T1$ 和 $T2$ 的大样例，但没什么用，不过告诉了一下 lzh，他一测，它的代码居然 Wa 了，不过他敲敲打打了一会又把大样例过了，%%%

又看 $T4$，感觉不加修改就是一个非常简单的贪心，但加了修改就开始神秘起来了，想过贪心的题都可以用 $DP$ 做，于是又开始想 $DDP$，但最终没有想出来。

下午出分，爆零了，$T1$ 没交上，交上的是我一开始写的一个很唐的代码。转了一圈发现 cdqz 只有 lzh 切了第一题，但不是第一，大佬 hkx 与 dhx 都打暴力打到了 $130$ 分，强。

听评讲，推一下发现 $A$ 的赢面非常小，只用枚举一下 $A$ 赢得情况，剩下的 $B$ 赢就可以了。后来才知道可以根据大样例打表出答案，而 lzh 正是这么做的，太 $6$ 了。

$T2$ 只用对全局做一个 $DP$ 就可以了，不需要对每个点都 $DP$ 一次，有点唐。

$T3$ 是一道分治加哈希的题，想到了分治，但没想到哈希。其实哈希在判断一个串合不合法时确实是一个有用的工具。

$T4$ 就实在想不懂了，应该不在我的能力范围之内。

后来才发现我考了 cdqz 并列倒数第一。一次并列第一，一次并列倒数第一，人生大起大落真是太刺激了！

今日联考总结：2024.12.17联考

Day 5

请了 lxl 来今天讲数据结构，不过他为什么不女装，他来七中讲课时都是穿着的。不过感觉他胖了好多，估计穿着也不好看。

一开始先讲了一些扫描线的题目，感觉还不算特别难，就是他每次说到二维数点即可时，我都不知道该怎么写，似乎这方面的博客还没怎么整理，回成都一定要整理一下。后面有讲到线性基与数据结构结合，结果发现当时小柯讲的线性基几乎被我忘完了，真是太菜了。

接下来讲的是插入-标记-回收算法，好像可以解决求区间求 $f_r(f_{r-1}(f_{\dots }(f_{l+1}(f_l(x)))))$ 这种区间复合函数的问题。一句话就是离线询问，从左往要扫描，扫到一个线段的起点就将其加入数据结构，每往右跳一格，就对整个数据结构做一次该复合函数，遇到终点就统计答案。遇到带修的，只用将时间再开成一维，对二维平面进行操作就可以了，感觉挺好懂得，只是做的题的难度比概念大了 ${10}^9+7$ 倍。

后面讲到数据结构的永久化标记，好像在树套树中有用，不过实在听不懂了。

lxl：先开个线段树维护一个 FFT 优化支配树上每个矩阵的特征多项式加上拓扑排序的传递闭包通过三维偏序加上最小费用最大流的动态图连通性优化LCT的做法求解李超线段树的树链剖分优化二分图最大匹配中威佐夫博弈的广义后缀自动机。

lxl：接着我们用平衡树套堆插入一个行列式的后缀平衡树并对左偏树的可持久化带修全源字符串的静态仙人掌做一个二次剩余的矩阵树定理来优化舞蹈链在康托展开的 AC 自动机的子集卷积。

lxl：最后只用求出答案在生成二十烷基二糠酸二乙酰氨基四钠化二铝中的复合函数求积分的变变速直线运动中生成的核酸的碱基序列，如果从表达效果思考，它有什么 $Suffisammentnécessaireuneseuleconditiondepousséetotalementirréversible$ 阻止了秦始皇在实行计划经济时从新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州木垒哈萨克自治县大南沟乌孜别克族乡的塔乌玛塔山上坠落。

我：这复杂度不应该是 $O(n^{114514}{\log }_2^{1919810}n)$ 吗？

lxl：不，复杂度只有 $O(lo{g}_{2}n)$。

我：

果然，大佬讲的课都不是人能听懂的。

下午继续写线性代数的博客，被基变换卡了很久，在网上挖呀挖呀挖，终于找到一个讲线性代数讲的非常出神入化的一个视频合集【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集，大部分都搞懂了，只是还是需要看一下书，发现没带，正好让我妈顺带着把我失散多年的鼠标一起送过来。

Day 6

今天请黄洛天来讲树上问题，一个被队友拖累的 IOI 金牌。感觉长得挺帅的，估计有女朋友（毕竟他经常上着上着课就看看手机）。

一开始讲了很多树形 DP，勉强能跟得上。不过与数据结构深度融合了，会做不会写。

后面讲到点分治，不由得请教一下树分治大佬 why，摸爬滚打之下还是听懂了不少。

后面讲到还原树，也就是通过一些已知信息或交互来还原出整棵树，以为和洛谷 P10179 水影若深蓝一样简单，结果发现根本听不懂，这题目怎么说，嘿嘿嘿嘿嘿嘿嘿嘿嘿嘿（不是心情），我真的太菜了。

下午继续整理线性代数，在 bilibili、程序员的数学、小柯的帮助下，总算是把基变换优化递推给搞明白了，可以去整理第一天的博客了。

线性代数的博客：线性代数学习笔记（一）（2024.7.24）

Day 7

今天出去玩研学，走了 $2\times {10}^4+C$ 步，累成狗。

一开始去毛主席纪念堂，作为新中国的主要缔造者，我还没有瞻仰过，正好来瞻仰一下。不过规矩是真的多，不能带包，不能戴帽子，不能拍照，不能说话，不过这确实体现了人们对他的尊敬。

中午去吃杂酱面，半套烤鸭要 $108$，点了才发现半套烤鸭加上两个菜可以组个套餐，只要 $85$ ？？？亏大了。杂酱面也是十分的精致，酱与面是分开的，需要自己把酱拌匀，而酱也感觉是一坨，有好多地方用筷子戳不开，后来发现是肉粒，$6$。

吃完饭去看天安门，看到了诡异的一幕：

风味绝佳的厕所？？？感觉大城市就是和小城市不一样。\滑稽

下午去逛故宫，解说员长得很像我们班的一个女同学，不过我比较脸盲。

穿过三道大门，走的都是之前皇帝才能走的道，感觉十分良好，后来站在了太和殿的顶端，这种感觉更加强烈，有一种君临天下的感觉，于是拍了个照纪念了一下。

接着去看珍宝展，二年级时来过一次，但碰到珍宝展恰好关门，这次算是赶上了。要用我初中语文老师的话来说，就是“哪怕我当年拿一个，现在都不知道在哪里了”。的确，这些金银珠宝在灯光下确实光彩夺目，连我一个大男人都移不开眼，同队的 NGOIer jsh 更是拍了不知道多少照片。

物华天宝，龙光射牛斗之墟；人杰地灵，徐孺下陈蕃之榻。—— 《滕王阁序》

我是那个人杰吗

出了故宫，买了一些纪念品，总计 $367$，不要觉得我花的多，可能今年一年就花这么多了。买了个小神兽送给没来的大佬 xjy，希望他能开心。

晚上去吃烤羊肉，是真的夯实，好像有点吃撑了，但确实很享受。吃完饭还有节目看，不过除了送的两个节目，其他节目都 $100$ 元演一次，真是抢劫啊！今天真是让 $hfu$ 破费了。

Day 8

可能是昨天晚上吃多了，今天一直头疼。

请的是 $cdqz$ 另一位学长 zhr 讲图论，今天讲的比较平缓，听懂了不少。几乎涵盖所有图论的知识点，从上午讲到晚上，还是没有讲完，真的太牛了。

下午头疼的更厉害了，赶紧穿上外套捂了捂汗，感觉要好多了，估计吹了太多冷风。

在成都，感觉不用羽绒服；在北京，感觉不到羽绒服。

晚上发现 zhr 竟给我们 $cdqz$ 的每个人一瓶饮料，真是大好人啊！

Day 9

睡一觉起来，发现头疼好多了，就是身上有点累，看来第 $7$ 天确实走累了。

今天讲动态规划，来讲课的是来自 CQYC 的学长 wg。他一开始讲课就让我们假设自己不会动态规划，然后就带着我们这些草履虫一路进化到了歌者文明。

不过的确，一开始将的确实特别基础，就差先把枚举讲一遍了，几种基础的 DP 还是听的非常顺畅，后面讲到 DP 的优化，在小柯和水哥的 buff 下，一路畅通无阻。讲着讲着发现这个学长特别喜欢画图，把 DP 的转移是扒得干干净净的，要是之前的学长都画得这么详细，应该能多听懂 $1\mathrm{\%}$。

后面讲到 Slope Trick，听学长说这是本节课最难得，幸好 hkx 之前给我们讲过，让我听起来不是那么头疼。%%% huangkx %%%

下午去看了看 DP 的优化，不过感觉这些优化都只能针对非常特殊的 DP 式子，真希望以后能有和常系数齐次线性递推类似的“广义常系数齐次线性递推”出现，好让这些繁杂的 DP 优化都见鬼去吧可以不用了。

Day 10

今天又考联考，一看到题目背景就知道这一定是 lxl 出题，再一看，正好一道二维数点，一道函数复合，一道神秘序列题，正好和 lxl 讲的课对应上了。

由于 $T3$ 确实很神秘，看 QQ 群后发现此为洛谷原题，在 Ynoi 和 THUPC 都考过，不过 THUPC 的时限是 $15$ 秒，在 Ynoi 的时限是 $8$ 秒，到了我们的联考就只剩 $6$ 秒了，这还做个鸟啊，打了个 $30$ 分的暴力就走了。

看 $T1$，发现这道题是三角形加三角形求和，不是普通的扫描线，考虑了半天能否把坐标轴倾斜一下，但还是想不明白，于是又打了 $25$ 分暴力。

看 $T2$，发现这就是一个插入-标记-回收算法的板题，考虑到只有当前值小于 $\frac{a_i}{2}$ 的 $x$ 会改变，且改变的操作可以简化成将 $x$ 乘以 $-1$ 再加上 $a_i$，考虑用 FHQ Treap 来维护，每次按值分裂后，都在根节点打上标记。需要输出答案时，只用将根节点到当前节点的标记全部下放，再调整这棵平衡树就可以了。但确实太难写了，下放标记时要先从当前点一路向上找到跟，并记录这个路径。调整平衡树时，还要考虑如何维护每个节点是哪个询问的值。于是匆忙打了 $8$ 分暴力。

下午出分，没挂分。xwb 和 hkx 都切掉了第 $2$ 题，代码能力确实强。

迟迟不开始讲题，于是开始肝 $T2$，肝了一个下午加一个晚上，还是没有写出来，这代码能力确实堪忧啊。

今日联考总结：2024.12.23联考

Day 11

今天又考联考，依然稳定发挥，一道题没做出来。

先看 $T1$，感觉像一个计数类 DP，看了半天也只看出如何统计不同连边的方案数，实在想不出来如何计算权值，于是打了 $10$ 分的暴力就跑路了。

接着开 $T2$，这次真是一点思路也没有，于是又打了 $20$ 分暴力。

开 $T3$，首先可以考虑 $P_i$ 每一个数字 $i$ 的段从 ${\displaystyle \frac{i(i-1)}{2}+1}$ 开始，到 ${\displaystyle \frac{i(i+1)}{2}}$ 结束，那么可以很简单地写出 $P_i$ 的通项公式 $P_i=\lfloor {\displaystyle \frac{\sqrt{8\times i+1}-1}{2}\rfloor }$，这样 $Q$ 的递推式就与 $P$ 无关了。接着就开始罚坐，考虑过常系数齐次线性递推，但是不会。于是又打了 $20$ 分的暴力。

下午出分，还是没挂分，打暴力还是很稳的。

晚上讲题，下午自习。想到线性代数的博客已经整理完了，于是想去写写第 $1$ 天的博客，结果发现不会生成函数，多项式也快忘完了，于是决定先去写了一下二者的博客，结果整理生成函数时又需要用到微积分，然而我又不会，于是又去整理了一下微积分，结果发现微积分又是一堆前置qwq

晚上听讲题，第一题要用到 $prufer$ 序列，没学过，哈哈哈。

第二题和第三题一直在懵逼中，索性直接开始学习微积分的前置的前置，圆锥曲线，6。

今日联考总结：2024.12.24联考

Day 12

今天请 GDSY 的学长 hjh 来讲字符串，不过他并没有延续前两位学长的优秀传统，直接将难度拉回了 lxl 那一天。

一开始讲 Border 的妙用，还勉强听得懂，主要是最近才搞懂了 KMP，不过难度比 KMP 大了 $\mathrm{\infty }$ 倍。本来初中时认为 KMP 绝对是史上最难懂的字符串算法，结果现在发现才哪跟哪啊！

后面听 SA，好像很简单的样子，结果突然，SAM 启动，本来 SAM 就没学懂，结果还是黑题的 SAM，直接开始懵逼。这难度陡升的，让我有一种

的感觉，于是开始摆烂，这些天强度确实太大了，感觉我快要变成图灵了。

下午继续讲课，继续在万紫千黑中遨游，结果不知怎的，突然开始将字符串的生成函数。好家伙，这与第一天讲的用生成函数求解矩阵的特征多项式有什么区别，一样的大杂烩，感觉今天的难度曲线就像：

算了，后面在慢慢搞懂吧。

晚上继续整理生成函数，结果发现需要用到非常高深的容斥原理，于是又先去整理容斥原理了。

Day 13

今天要回成都了，从没有觉得时间过得这么快过，两周一晃就过了，还是有点悲伤。

飞机在下午一点整，因此上午的模拟赛就简单打了个 $17$ 分的暴力，后来查分发现没有挂分，而且今天的所有题目都没有人做出来，估计都太想回家了！

到了飞机场，过完安检都开始登机有一段时间了，直接一波速度与激情来到登机口，才发现与 yt, jsh, lr, hkx 这几个要去西安打 EC Final 的人走散了，又有一点悲伤。

坐飞机回成都，这次飞机比来的时候那架稳多了，机长好评！飞机餐特别考虑了这是飞往成都的飞机，在饭里加了许多辣椒油，但还是一点辣味也没有现在真变成无辣不欢了。

晚上和爸爸妈妈去吃了一趟火锅，感觉真是美味中的美味，好久没有吃过这么香的一顿饭了。

围炉聚炊欢呼处，百味消融小釜中。——《无题》

最后。

如果一年 $365$ 天，你有 $300$ 天都在干同一样事情，还在乎什么结果呢？

未来难以预测，唯能把握当下。

宣夫犹能畏后生，丈夫不可轻年少。

$2025$ 加油！！！