题解：洛谷 P5180 【模板】支配树

在图论模拟赛被T4的有向图必经点硬控了 \(10^9 + 7s\)，写篇题解纪念一下。

其实，求有向图的必经点，通法就是支配树。

一些定义：

• 支配点：在确定起点 \(S\) 的情况下，对于一个点 \(k\)，若存在 \(x\)，使得删除 \(x\) 以及与 \(x\) 连接的边后，\(x\) 与 \(k\)，不再强连通，那么就称 \(k\) 为 \(x\) 的支配点。

• 支配树：一棵以起点 \(S\) 为根的树，满足对于树上的任意一个点 \(u\)，它是它子树内所有点的支配点，且 \(u \rightarrow S\) 这条树链上的点都是 \(u\) 的支配点。

我们发现，其实求出了支配树，那么每个点能支配的点的个数就是它的子树大小，现在考虑如何求出支配树。

我们先对整个图进行一次深搜，求出每个点的 \(dfn\) 序。

定义半支配点为 \(semi_u\)，满足从 \(semi_u\) 到 \(u\) 的路径上只走 \(dfn\) 序大于 \(u\) 的点，且 \(dfn\) 序最小的那个点。

定义直接支配点为 \(idom_u\)，满足 \(idom_u\) 在支配树上是 \(u\) 的父亲。

首先，每个点的半支配点是唯一的，因为它是所有满足条件的点中 \(dfn\) 序最小的。

我们考虑如何求出半支配点，近而求出直接支配点。

考虑两个点 \(u, v\)，其中 \(v\) 与 \(u\) 之间有直接的边相连，那它们的 \(dfn\) 关系只有大于和小于两种情况，如果 \(v\) 的 \(dfn\) 序小于 \(u\)，那么 \(v\) 有可能是 \(u\) 的半支配点，