题解：洛谷 P5180 【模板】支配树

在图论模拟赛被T4的有向图必经点硬控了 ${10}^9+7s$，写篇题解纪念一下。

其实，求有向图的必经点，通法就是支配树。

一些定义：

• 支配点：在确定起点 $S$ 的情况下，对于一个点 $k$，若存在 $x$，使得删除 $x$ 以及与 $x$ 连接的边后，$x$ 与 $k$，不再强连通，那么就称 $k$ 为 $x$ 的支配点。

• 支配树：一棵以起点 $S$ 为根的树，满足对于树上的任意一个点 $u$，它是它子树内所有点的支配点，且 $u\to S$ 这条树链上的点都是 $u$ 的支配点。

我们发现，其实求出了支配树，那么每个点能支配的点的个数就是它的子树大小，现在考虑如何求出支配树。

我们先对整个图进行一次深搜，求出每个点的 $dfn$ 序。

定义半支配点为 $sem{i}_u$，满足从 $sem{i}_u$ 到 $u$ 的路径上只走 $dfn$ 序大于 $u$ 的点，且 $dfn$ 序最小的那个点。

定义直接支配点为 $ido{m}_u$，满足 $ido{m}_u$ 在支配树上是 $u$ 的父亲。

首先，每个点的半支配点是唯一的，因为它是所有满足条件的点中 $dfn$ 序最小的。

我们考虑如何求出半支配点，近而求出直接支配点。

考虑两个点 $u,v$，其中 $v$ 与 $u$ 之间有直接的边相连，那它们的 $dfn$ 关系只有大于和小于两种情况，如果 $v$ 的 $dfn$ 序小于 $u$，那么 $v$ 有可能是 $u$ 的半支配点，