2024.9.6校测

T1

题目描述

猫猫是丛林里很多动物心中的天使，她为此十分自豪。猫猫最爱吃鱼了，她每天都要去池塘钓鱼吃。猫猫经常吃鱼脑，数学特别强，然而，小女生的性格决定了她的贪玩。
一天，猫猫钓到了很多条鱼。她并不想马上就把可怜的鱼儿吃掉，而是先折磨够之后再吃（有句话叫什么来着，最毒不过猫猫心）。

猫猫将这很多很多（数不过来）条鱼按照外观的漂亮程度排序，每个鱼的编号依次为 $1、2、3\dots \dots N$，第 $i$ 条鱼的美观程度为 $3^{i-1}$。

猫猫要把这些鱼放到桶里去。她每次拿的鱼的数目是任意的。中的鱼的“总美观程度”为各条鱼美观程度之和。例如：猫猫这一次拿了第一条鱼和第三条鱼，那么美观程度为 $1+9=10$。

猫猫想知道，她可以获得的第 $k$ 小的“总美观程度”是多少。

输入格式

数据包含 $n+1$ 行，第一行读入 $n$。以下 $n$ 行每行包含一个 $k$。

输出格式

输出包含 $n$ 行，每行输出一个对应的结果。

输入样例

1
7

输出样例

13

样例解释

猫猫能够拿到的美观程度从小到大为 $1、3、4、9、10、12、13\dots \dots$，所以第 $7$ 大的美观程度是 $13$。

数据规模

对于 $50\mathrm{\%}$ 的数据，$k\le 5000$。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$n\le 100,k\le 2^{31}-1$。

题解

我们将每条鱼的美观程度转化为三进制，那他们的美观程度就分别是 $001,010,100,\dots$，可以发现它们的 $1$ 都在不同位上，因此若干条鱼的美观程度加起来在三进制下每一位上只会出现 $0$ 或 $1$，因此满足这个性质的数都可以被凑出来。

考虑如何快速找到第 $k$ 小的数。将可以凑出的所有数转化成三进制，再按从小到大列出来：$001,010,011,100,101,110,\dots$，可以发现将这些数转化成二进制后，就是 $1,2,3,4,5,6,\dots$.

于是，可以将 $k$ 先转化成二进制，再把它当成一个三进制数，将它转化为十进制，就可以得出答案。

完整代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n, k;
signed main(){
	freopen("catfish.in", "r", stdin);
	freopen("catfish.out", "w", stdout);
	scanf("%lld", &n);
	while(n--){
		scanf("%lld", &k);
		int len = log2(k) + 1, ans = 0, mi = 1;
		for(int i = len; i >= 1; i--){
			ans += mi * (k % 2);
			k /= 2;
			mi *= 3;
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}

T2

题目描述

回到家中的猫猫把三桶鱼全部转移到了她那长方形大池子中，然后开始思考：到底要以何种方法吃鱼呢（猫猫就是这么可爱，吃鱼也要想好吃法^_*）。她发现，把大池子视为 $01$ 矩阵（$0$ 表示对应位置无鱼，$1$ 表示对应位置有鱼）有助于决定吃鱼策略。

在代表池子的 $01$ 矩阵中，有很多的正方形子矩阵，如果某个正方形子矩阵的某条对角线上都有鱼，且此正方形子矩阵的其他地方无鱼，猫猫就可以从这个正方形子矩阵“对角线的一端”下口，只一吸，就能把对角线上的那一队鲜鱼吸入口中。

猫猫是个贪婪的家伙，所以她想一口吃掉尽量多的鱼。请你帮猫猫计算一下，她一口下去，最多可以吃掉多少条鱼？

输入格式

有多组输入数据。

每组数据：

第一行有两个正整数 $n$ 和 $m$，描述池塘规模。接下来的 $n$ 行，每行有 $m$ 个数字（非 $0$ 即 $1$）。

每两个数字之间用空格隔开。

输出格式

只有一个整数——猫猫一口下去可以吃掉的鱼的数量，占一行，行末有回车。

输入样例

4 6
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1
0 1 1 0 1 0

输出样例

3

数据规模

对于 $30\mathrm{\%}$ 的数据，$n,m\le 100$。

对于 $60\mathrm{\%}$ 的数据，$n,m\le 1000$。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$n,m\le 2500$。

题解

一眼 DP。设 $f_{i,j}$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的最大的只有左上到右下为 $1$ 的正方形的边长，$g_{i,j}$ 表示最大的只有右上到左下为 $1$ 的正方形的边长。

那么答案就是 $\underset{1\le i\le n,1\le j\le n}{max}\{f_{i,j},g_{i,j}\}$

考虑如何转移，以 $f_{i,j}$ 为例，首先发现当前 $f_{i,j}$ 的可能最大值一定是 $f_{i-1,j-1}+1$，就像这样：

$$\left[\begin{array}{ccccc}\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ ⋮& 1& 0& 0& ⋮\\ ⋮& 0& 1& 0& ⋮\\ ⋮& 0& 0& 1& ⋮\\ \dots & \dots & \dots & \dots & 1\end{array}\right]$$

但我们发现，假设在 $j$ 到 $j-f_{i-1,j-1}$ 之间有 $1$，或在 $i$ 到 $i-f_{i-1,j-1}$ 之间有 $1$ 都无法全部转移。

设 $(i,j)$ 位置往左第一个 $1$ 的位置是 $(i,k)$，往上第一个 $1$ 的位置是 $(k,j)$，那么左上角的这个最大正方形只有 $i>k$ 且 $j>l$ 的部分可以转移过来。

设 $s{1}_{i,j}$ 表示 $(i,j)$ 左边 (包含 $(i,j)$) 最多有多少个 $0$，$s{2}_{i,j}$ 表示 $(i,j)$ 右边 (包含 $(i,j)$) 最多有多少个 $0$，$s{1}_{i,j}$ 表示 $(i,j)$ 上边 (包含 $(i,j)$) 最多有多少个 $0$。

那么就可以列出转移方程 $f_{i,j}=min(f_{i-1,j-1},s{1}_{i,j-1},s{3}_{i-1,j})+1$

同理可得：$g_{i,j}=min(f_{i-1,j-1},s{2}_{i,j+1},s{3}_{i-1,j})+1$

状态个数 $O(n^2)$，转移复杂度 $O(1)$，总复杂度 $O(n^2)$，可以通过此题。

但这题空间大小只有 $32$ MB，因此只能将 $f$ 和 $g$ 先当做辅助数组，再当做 DP 数组。

完整代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int short
const int N = 2.5e3 + 5;
int dp[N][N], n, m;
bool a[N][N];
int max(int x, int y){
	if(x > y)
		return x;
	else
		return y;
}
int min(int x, int y){
	if(x > y)
		return y;
	else
		return x;
}
signed main(){
	freopen("meal.in", "r", stdin);
	freopen("meal.out", "w", stdout);
	while(scanf("%hd", &n) != EOF){
		scanf("%hd", &m);
		memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			for(int j = 1; j <= m; j++)
				scanf("%hd", &a[i][j]);
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			int now = 0;
			for(int j = 1; j <= m; j++){
				dp[i][j] = now;
				if(!a[i][j])
					now++;
				else
					now = 0;
			}	
		}
		for(int j = 1; j <= m; j++){
			int now = 0;
			for(int i = 1; i <= n; i++){
				dp[i][j] = min(dp[i][j], now);
				if(!a[i][j])
					now++;
				else
					now = 0;
			}	
		}
		int ans = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			for(int j = 1; j <= m; j++)
				if(a[i][j]){
					dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j]) + 1;
					ans = max(ans, dp[i][j]);
				}
				else
					dp[i][j] = 0;
		memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			int now = 0;
			for(int j = m; j >= 1; j--){
				dp[i][j] = now;
				if(!a[i][j])
					now++;
				else
					now = 0;
			}	
		}
		for(int j = 1; j <= m; j++){
			int now = 0;
			for(int i = 1; i <= n; i++){
				dp[i][j] = min(dp[i][j], now);
				if(!a[i][j])
					now++;
				else
					now = 0;
			}	
		}		
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			for(int j = m; j >= 1; j--)
				if(a[i][j]){
					dp[i][j] = min(dp[i - 1][j + 1], dp[i][j]) + 1;
					ans = max(ans, dp[i][j]);
				} else
					dp[i][j] = 0;
		printf("%hd\n", ans);
	}
    return 0;
}

T3

题目描述

猫猫把嘴伸进池子里，正准备“吸”鱼吃，却听到门铃响了。猫猫擦了擦脸上的水，打开门一看，那人正是她的好朋友——川川。

川川手里拿着一辆玩具汽车，对猫猫说：“这是我的新汽车！”接着，伴随一阵塑料叩击声，玩具汽车的车门竟开了，一只蜗牛慢慢吞吞爬了出来。

“哇！这么大的蜗牛……”猫猫惊讶道。

“这是我的宠物蜗牛，他叫点点。”川川介绍道。

“把他送给我好吗？”猫猫央求道。

“可以让他陪你几天，但是不能送给你……”

点点沿着川川的身体，爬到了地上，又移到了猫猫的池子旁边，只听见猫猫向川川介绍她的“创意吃鱼法”，心里不禁起了一丝凉意：“这个女生太毒了……吃鱼前还要玩鱼……”转眼一看，池中的鱼依旧畅快地游来游去。

“或许这些鱼听不懂猫语吧……好在我会一点儿猫语，也会一点鱼语……阿弥陀佛，善哉善哉。我还是救救这些鱼吧……”点点自言自语，一边费力地移动着身躯。他认识到——单凭自己的力量，把猫猫的阴谋告诉每一条鱼，似乎不太可能——自己底盘太低，走不快，看来只得想其他办法来传达信息。一翻认真思考之后，点点想到，如果把猫猫的计划告诉其中一条鱼，再让鱼们互相传达消息，那么在相对较短的时间内，每条鱼都会得知猫猫的计划。

鱼们的社会等级森严，除了国王菜鱼之外，每条鱼均有且只有一个直接上级，菜鱼则没有上级。如果 A 是 B 的上级，B 是 C 的上级，那么 A 就是 C 的上级。

绝对不会出现这样两条鱼 A、B：A 是 B 的上级，B 也是 A 的上级。

最开始的时刻是 0，点点要做的，就只是用 1 单位的时间把猫猫的阴谋告诉某一条“信息源鱼”，让鱼们自行散布消息。在任意一个时间单位中，任何一条已经接到通知的鱼，都可以把消息告诉他的一个直接上级或者直接下属。现在，点点想知道：

1. 到底需要多长时间，消息才能传遍池子里的鱼？

2. 使消息传递过程消耗的时间最短，可供选择的“信息源鱼”有那些？

输入格式

有多组输入数据，每组数据：

第一行有一个数 $n$，表示池中的鱼数，池鱼按照 $1$ 到 $n$ 编上了号码，国王菜鱼的标号是 $1$。

第 $2$ 行到第 $n$ 行（共 $n-1$ 行），每一行一个数，第 $i$ 行的数表示鱼 $i$ 的直接上级的标号。

输出格式

对于每组输入数据：

第一行有一个数，表示最后一条鱼接到通知的最早时间。

第二行有若干个数，表示可供选择的鱼“信息源鱼”的标号，按照标号从小到大的顺序输出，中间用空格分开。

输入样例

8
1
1
3
4
4
4
3

输出样例

5
3 4 5 6 7

数据规模

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$n\le 1000$。

T4

题目描述

猫猫送走了客人，留住了蜗牛点点，晃晃悠悠走到池子边，又打起了鱼的主意。俯瞰池子，猫猫发现鱼阵明显乱了。“难道鱼们故意让我无法下嘴？”猫猫看到正在池边散步的点点，心想：“一定是他告的密……”猫猫愤怒地抓起点点，把他关进了抽屉里。

猫猫想：“好啊，鱼儿啊，你们不就是会传递信息吗？有什么了不起？用挡板把你们隔离开，看你们还怎么交流！”猫猫随即从后花园里拿来若干挡板，打算用这些挡板在水中设立“隔离室”，把鱼们分开。

池塘已经被猫猫抽象成了 $n$ 行 $m$ 列小方格，每个小方格中或有鱼，或无鱼。挡板必须沿着小方格的边缘放置。猫猫需要用挡板围出若干个“隔离室”，使得每个隔离室中有且只有一条鱼，而且，每个“隔离室”都必须为矩形（包括正方形）。那么，将鱼们隔离开来，猫猫最少需要多少个长度单位的木板呢？

输入格式

第一行有两个整数 $n$ 和 $m$，描述池塘规模。接下来的 $n$ 行，每行有 $m$ 个数字（非 $0$ 即 $1$）。每两个数字之间用空格隔开。

输出格式

对于每组输入数据，输出一行：一个数字，猫猫所需挡板的最短总长度。

输入样例

4 3
0 1 0
0 0 0
1 0 1
0 0 0

输出样例

5

样例解释

可以这么分：

$\text{blue}0\text{blue}1\text{blue}0$

$\text{blue}0\text{blue}0\text{blue}0$

$\text{pink}1\text{pink}01$

$\text{pink}0\text{pink}00$

由于池塘边框不需要放置挡板，所以这个分割方案所需的挡板总长度为 $5$。

数据规模

对于 $20\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n,m\le 10$。

对于 $40\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n,m\le 16$。

对于 $70\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n,m\le 24$。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n,m\le 32$。