合集-数学学习笔记

组合数学学习笔记（一）：组合数基础知识
摘要：一、组合数 1.递推式 \(\displaystyle\binom nm = \binom{n - 1}{m - 1} + \binom{n - 1}{m}\) 证：左边相当于从 \(n\) 个数中选 \(m\) 个数，右边枚举第 \(n\) 个数选不选。如果选，就从剩下 \(n - 1\) 个数中 阅读全文
posted @ 2024-08-01 16:33 Orange_new 阅读(120) 评论(0) 推荐(0)
组合数学学习笔记（二）：鸽巢原理、容斥及反演
摘要：鸽巢原理 将 \(\displaystyle\sum_{i = 1}^n p_i - n + 1\) 个物品放入 \(n\) 个盒子，一定存在一个盒子 \(i\)，使得第 \(i\) 个盒子至少装了 \(p_i\) 个物品。 证明：考虑反证法。 假设每个盒子 \(i\) 都装了小于 \(p_i\) 阅读全文
posted @ 2024-08-01 16:35 Orange_new 阅读(99) 评论(0) 推荐(0)
线性代数学习笔记（一）：线性代数基础知识
摘要：线性代数学习笔记（一）：线性代数基础知识向量 定义 从偏计算机的角度分析，这是排成一列的数。 从偏物理的角度分析，这是一条有方向有长度的线段。 可以通过数形结合的方式来理解向量。 向量的表示法： 虽然向量的起点不固定，但画平面直角坐标系中的向量，我们一般将向量的起点放在 \((0, 0)\)，用向量的终点表示这个向量，如图： 这个向量可以 阅读全文
posted @ 2024-09-20 16:57 Orange_new 阅读(229) 评论(1) 推荐(2)
多项式学习笔记（二）：多项式初等函数
摘要：牛顿迭代 高中数学中，我们学过牛顿法求函数零点，其实，对于多项式的计算，也有牛顿迭代法。 回忆一下牛顿法的过程，对于二次函数 \(f(x) = x^2 - 10\)，我们首先猜测一个零点 \(x_0\)，求出 \((x_0, f(x_0))\) 处的切线。 比如我们取 \(x_0 = 3\)，由于 阅读全文
posted @ 2025-01-20 16:52 Orange_new 阅读(45) 评论(0) 推荐(1)
多项式学习笔记（一）：多项式基础知识、快速傅里叶变换
摘要：声明：在本节范围内，所有同余号（多项式运算）均在\((\text{mod } x^n)\)意义下进行；所有等号（代数运算）均在模某个质数\(p\)意义下进行。 暴力多项式计算 加法 \(H(x) = F(x) + G(x)\)，求\(H(x)\) 解：类比高精度加法 \(h_i = f_i + g_ 阅读全文
posted @ 2024-08-01 16:37 Orange_new 阅读(89) 评论(0) 推荐(1)
博弈论学习笔记（一）：博弈论基础知识、常见博弈类型
摘要：博弈论学习笔记（一）：博弈论基础知识、常见博弈类型基本概念 博弈定义：在一定条件下，遵守一定的规则，一个或几个拥有绝对理性思维的人或团队，从各自允许选择的行为或策略进行选择并加以实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程。 举几个例子来说说什么是博弈： 经济学：股市是按照这样的方式运行的：每个人可以持有股票，如果抛出过多股票则股价下跌，没有抛股票的人 阅读全文
posted @ 2024-09-20 19:08 Orange_new 阅读(324) 评论(0) 推荐(0)
数论学习笔记（二）：数论函数
摘要：数论函数 $\text{If for every value of x,} $ \(\text{y has a completely determined corresponding value,}\) \(\text{then y is a function of x.}\) \(—— \text 阅读全文
posted @ 2024-09-20 17:10 Orange_new 阅读(98) 评论(0) 推荐(0)
数学顶尖科技学习笔记
摘要：数学在此处开始融合，脑子疼qwq 阅读全文
posted @ 2025-01-20 16:59 Orange_new 阅读(140) 评论(1) 推荐(2)
组合数学学习笔记（四）：特殊的数
摘要：前置知识 组合数学学习笔记（三）：生成函数 1（OGF） 组合数学学习笔记（六）：生成函数 2（EGF） 多项式学习笔记（一）：多项式基础知识、快速傅里叶变换 多项式学习笔记（二）：多项式初等函数 多项式学习笔记（三）：多项式高级算法 由于多项式实在是太达芬了，因此所有代码中都不放多项式模板代码部分 阅读全文
posted @ 2025-01-23 21:12 Orange_new 阅读(140) 评论(2) 推荐(1)
数论学习笔记（一）：同余相关
摘要：一、最大公约数 定义 不全为 \(0\) 的整数 \(a, b\) 的最大公约数是指能够同时整除 \(a\) 和 \(b\) 的最大整数。 欧几里得算法(gcd) gcd是用来求解两个整数的最大公约数 定理1.2.1 对于整数 \(a, b, m, n\)，若 \(c \mid a，c \mid b 阅读全文
posted @ 2024-09-20 16:58 Orange_new 阅读(146) 评论(2) 推荐(1)
组合数学学习笔记（三）：生成函数 1（OGF）
摘要：\(\text{A generating function is a device somewhat similar to a bag.}\) \(\text{Instead of carrying many little objects detachedly, which could be emb 阅读全文
posted @ 2024-11-20 14:39 Orange_new 阅读(170) 评论(0) 推荐(0)
多项式学习笔记（三）：多项式高级算法
摘要：多项式多点求值 多项式快速差值 分治 FFT 多项式平移 连续点值平移 等差数列点值平移 快速阶乘算法 阅读全文
posted @ 2025-02-11 11:33 Orange_new 阅读(24) 评论(0) 推荐(0)
组合数学学习笔记（五）：符号化方法
摘要：并构造 笛卡尔积构造 Sequence 构造 multiset 构造 Powerset 构造 Cycle 构造 带限制构造 阅读全文
posted @ 2025-02-11 11:37 Orange_new 阅读(33) 评论(0) 推荐(0)
线性代数学习笔记（二）：线性基
摘要：基本概念 线性基的定义 回顾一下基的概念，空间的一组张成空间为该空间的线性无关的向量组成的集合就被叫做该空间的一组基。用数学语言表示就是对于空间的一组基 \(\hat{u}_1, \hat{u}_2, \hat{u}_3, \dots\)，总有 \(v = \displaystyle\sum_{i 阅读全文
posted @ 2025-03-17 20:44 Orange_new 阅读(199) 评论(2) 推荐(3)
线性规划学习笔记
摘要：线性规划基本概念 我们生活中的资源大部分是有限的，而我们又希望能让利益最大化（比如背包问题）。此时，如果我们可以把目标描述为一个依附于某些变量的线性函数，而限制又可以转化成这些变量之间的等式与不等式关系，那么这就是一个线性规划问题，我们可以用线性规划相关知识求解。 形式化地讲，我们已知一组实数 \( 阅读全文
posted @ 2025-07-12 14:33 Orange_new 阅读(82) 评论(0) 推荐(0)
组合数学学习笔记（六）：生成函数 2（EGF）
摘要：指数生成函数（\(\text{EGF}\)） 考虑泰勒展开的式子 \(f(x) = \displaystyle\sum_{i \geq 0}\frac{f^{(i)} (x_0)}{i!} (x - x_0)^i\)，可以发现泰勒展开在普通生成函数的基础上，每一项都除以了 \(i!\)。因此，当普通 阅读全文
posted @ 2025-07-21 10:40 Orange_new 阅读(26) 评论(0) 推荐(0)
概率论学习笔记
摘要：随机事件基本知识 这部分是高中知识。 随机试验 \(E\)：对随机现象的实现和观察。 样本点：随机试验 \(E\) 的每个可能的基本结果。 样本空间 \(\Omega\)：一个随机试验所有样本点构成的集合。 随机事件 \(A\)：样本空间的任一子集，或者说由随机试验的某些样本点构成的一个集合，简称事 阅读全文
posted @ 2025-07-21 10:51 Orange_new 阅读(16) 评论(0) 推荐(0)
计算几何学习笔记（一）：二维计算几何
摘要：平面几何基本知识 这部分是小学 / 初中 / 高中知识。 平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点 \(O\) 的两条数轴 \(x, y\) 构成平面直角坐标系。 对于平面内任意一点 \(A\)，过点 \(A\) 分别向 \(x\) 轴、\(y\) 轴作垂线，垂足在 \(x\) 轴、\(y 阅读全文
posted @ 2025-08-18 14:38 Orange_new 阅读(68) 评论(0) 推荐(0)