大数定理

空间上统治宇宙的是万有引力（远远超过电磁力、强力和弱力），时间上统治宇宙的则是大数定理。

引子

这两天为了测试定时刷新功能，编写了一小段代码，每秒产生一个随机数，如果随机数大于0.999，就弹出通知框，模拟定时刷新数据库查看偶发事件的程序。

没想到，这段代码似乎很爱表现，本来按理说每小时应该产生3.6个，但实际上经常刚运行1分钟就弹出来了，还经常连续跳。

这咋回事呢？难道程序中潜伏着一个智慧生物？

于是修改了代码，昨天测试了一晚上，结果如下：

Mon Feb 20 22:08:39 UTC+0800 2012: start!
Mon Feb 20 22:15:28 UTC+0800 2012:0.9996775767156192
Mon Feb 20 22:26:45 UTC+0800 2012:0.9993164486570707
Mon Feb 20 22:39:41 UTC+0800 2012:0.9991614030679405
Mon Feb 20 22:52:17 UTC+0800 2012:0.9993802612934692
Mon Feb 20 22:57:18 UTC+0800 2012:0.9992101100747147
Mon Feb 20 23:49:47 UTC+0800 2012:0.9994722976553704
Tue Feb 21 00:32:22 UTC+0800 2012:0.9993711621307835
Tue Feb 21 00:44:49 UTC+0800 2012:0.9997594440820359
Tue Feb 21 00:59:11 UTC+0800 2012:0.9990013300168501
Tue Feb 21 01:01:05 UTC+0800 2012:0.9995229600977049
Tue Feb 21 01:06:59 UTC+0800 2012:0.999817806874123
Tue Feb 21 01:43:27 UTC+0800 2012:0.9991565107679405
Tue Feb 21 01:52:45 UTC+0800 2012:0.9994827659434577
Tue Feb 21 01:56:38 UTC+0800 2012:0.9994192574575108
Tue Feb 21 02:01:23 UTC+0800 2012:0.9992681562004064
Tue Feb 21 03:19:18 UTC+0800 2012:0.9996777448874157
Tue Feb 21 03:22:19 UTC+0800 2012:0.9996629119550424
Tue Feb 21 03:24:53 UTC+0800 2012:0.9992419533798492
Tue Feb 21 03:28:41 UTC+0800 2012:0.999059605995319
Tue Feb 21 03:32:00 UTC+0800 2012:0.9990270301026873
Tue Feb 21 04:12:00 UTC+0800 2012:0.9993799632901426
Tue Feb 21 04:17:32 UTC+0800 2012:0.9994741351743861
Tue Feb 21 04:26:54 UTC+0800 2012:0.9993270924804556
Tue Feb 21 04:30:12 UTC+0800 2012:0.9994040516631909
Tue Feb 21 04:52:36 UTC+0800 2012:0.9995258410445615
Tue Feb 21 05:39:31 UTC+0800 2012:0.999388751953785
Tue Feb 21 05:43:27 UTC+0800 2012:0.9999265437402556
Tue Feb 21 05:50:03 UTC+0800 2012:0.9997207089599427
Tue Feb 21 05:56:21 UTC+0800 2012:0.9998498736376766
Tue Feb 21 06:16:08 UTC+0800 2012:0.9999746575172905
Tue Feb 21 06:23:04 UTC+0800 2012:0.9997999256014357
Tue Feb 21 06:57:41 UTC+0800 2012:0.999702550543468
Tue Feb 21 07:29:17 UTC+0800 2012:0.9996094465673534
Tue Feb 21 07:29:53 UTC+0800 2012:0.9992936536360875
Tue Feb 21 07:31:19 UTC+0800 2012:0.9994029914395262
Tue Feb 21 07:33:24 UTC+0800 2012:0.9999636418665332
Tue Feb 21 07:45:48 UTC+0800 2012:0.9990307948678938
现在时间是08:40（有接近一小时没弹出来啦！）

在10.5小时时间里，弹出了37个，几乎完全等于3.6个/小时。如果观察局部，在最后7：29～7：33连续弹出了4个，而在最后的一小时，则一个没弹。

但局部的偶然事件并不会影响大量统计的结果，这就叫大数定理，就是当数目多到一定程度后，统计规律将占据统治地位，结果将趋向于事件的数学期望。

一些偶发的连续弹出，在心理上造成了“爱表现的智慧生物”的错觉。

代码如下有空可以玩玩：

<script type = "text/javascript"> $(document).ready( function () { $("#log").append(Date().toString() + ": start!<br>") }); $(function tick() { var value = Math.random(); $("h1").html(value.toString()); if (value > 0.999) { $("#log").append(Date().toString() + ":" + value + "<br>") }; setTimeout(tick, 1000); }); </script> <p id = "log"> </p>

 

用途

这东西有什么用？在http://blog.csdn.net/cheny_com/article/details/7001982中提到过，当年牛顿时代磨制望远镜，就是利用了大数定理，用纯手工把镜面精度加工到1/8光波长。

在软件估算中，大数定理也非常有用。如果同样一个项目，如果分成10个大块来分别估算，就不如分成20个来得准确。尽管事后会发现无论10个还是20个，每个任务都一样估不准，但是把20个任务加在一起，剩余误差比10个的时候要小很多。

这就是为什么要做WBS分解，然后估算任务的原因。对于敏捷开发的估算，如果能把大型的（超过5人天的）任务分解一下，再行估算，然后相加，误差会小很多。

但是为什么呢？有什么数学原理在起作用？

这就要讲到随时变量相加时的“卷积”运算。

比如抛硬币，抛1次，正反的概率分别0.5，抛两次，则不会说两正两反的概率分别0.5，而是中间插进来个一正一反，而且还占据了大头，成为0.25-0.5-0.25的格局。

如果用整数表示，可以看到下面的三角形：

01次：1 1

02次：1 2 1

03次：1 3 3 1

04次：1 4 6 4 1

05次：1 5 10 10 5 1

06次：1 6 15 20 15 6 1

07次：1 7 21 35 35 21 7 1

...

01次时的11意思是说1正+1反

02次时的121意思是说1/4个两正+2/4个1正1反+1/4个两反，4是所有数字之和

03次的1331=1/8个3正+3/8个2正1反+3/8个1正2反+1/8个三反，8是所有数字之和

……这个三角形叫做杨辉三角形，还是中国人发明的，可以参考最后的链接。

随着次数的增多，极端情况越来越少，而中央鼓起来一个大包。如果连续抛7次硬币，你可以只押4正3反或3正4反，就能有70/128的胜率。

随机变量在相加时，中间鼓起来的现象叫做“卷积”。（额……只能先这么说了）

下面这些事情都和大数定理相关：

1. 分得细估得准（永远不要追求单个任务估算得很准，硬币怎么抛，都是一正一反，多抛几次就得了）

2. 用的多缺陷少（所以要赶紧作出可运行软件跑着）

3. 看的多缺陷少（所以要代码审查）

4. ……等等

杨辉三角型：http://baike.baidu.com/view/298289.htm

大数定理的百度词条不对。