【模板】逆元求法总结

1.求单个数(n)的关于模数(p)的逆元：

（1）扩展欧几里得算法

满足条件：n与p互质

推导过程：(a*x)%p==(a/b)%p

-->x%p==1/b-1/(b*p)*p

-->x*b%p==1-1/p*p

-->x*b+1/p*p==1

由于b与p互质，所以gcd(b,p)==1，因此用扩展欧几里得求出的x即为b关于p的逆元。

ps.这里求出的逆元可能为负因此要转正。

代码：

#include<cstdio>
void ex_gcd(int a,int b,int&x,int&y){
    if(b==1){
        x=0;y=1;return;
    }
    ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}
int main(){
    int a,b,p,x,y;
    scanf("%d %d %d",&a,&b,&p);
    ex_gcd(b,p,x,y);
    x=(x%p+p)%p;
    printf("%d",x);
    return 0;
}

（2）快速幂求逆元

满足条件：p为质数

推导过程：

由费马小定理：a^p-1%p=1

-->a*a^p-2%p=1

-->a^p-2即为a关于p的逆元

ps.这个速度没扩欧快......

代码：

#include<cstdio>
int ksm(long long a,int b,int p){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=res*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main(){
    int a,b,p,x;
    scanf("%d %d %d",&a,&b,&p);
    x=ksm(b,p-2,p);
    printf("%d",x);
    return 0;
}

2.预处理1~n关于p的逆元：

（1）单个求-->就是枚举每个数单独求逆元，复杂度O(nlog(n))，这里不再赘述。

（2）递推求逆元：

推导过程：易知1的逆元为1。

令t=p/i,r=p%i;

-->t*i+r≡0(mod)p

-->t*i≡-r(mod)p

-->两边同时乘上i^-1*r^-1

-->i^-1=(-t+p)*r^-1%p

-->inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long LL;
long long inv[3000005];
int main(){
    int n,p;
    scanf("%d %d",&n,&p);
    inv[1]=1;printf("1\n");
    for(int i=2;i<=n;i++){
        inv[i]=(long long)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
        printf("%lld\n",inv[i]);
    }
    return 0;
}

3.预处理1!~n!关于p的逆元：

（1）递推求阶乘时用扩欧或快速幂求解，复杂度O(nlog(n))，也不重复了。

（2）递推求逆元：

推导过程：设n!的逆元为inv[n]

-->inv[n]=(n!)^-1

-->inv[n-1]=(n-1)！^-1%p=(n!)^-1*i%p

复杂度O(log(n)+n)。

代码：

#include<cstdio>
int inv[100005]; 
int ksm(long long a,int b,int p){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=res*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main(){
    int n,p,x;
    scanf("%d %d",&n,&p);//求1！~n！关于p的逆元 
    int kk=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)kk=kk*i%p;
    inv[n]=ksm(kk,p-2,p);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%p;
    return 0;
}