【bzoj1827/Usaco2010 Mar】gather 奶牛大集会——树的重心+贪心

Description

Bessie正在计划一年一度的奶牛大集会，来自全国各地的奶牛将来参加这一次集会。当然，她会选择最方便的地点来举办这次集会。每个奶牛居住在 N(1<=N<=100,000) 个农场中的一个，这些农场由N-1条道路连接，并且从任意一个农场都能够到达另外一个农场。道路i连接农场A_i和B_i(1 <= A_i <=N; 1 <= B_i <= N),长度为L_i(1 <= L_i <= 1,000)。集会可以在N个农场中的任意一个举行。另外，每个牛棚中居住者C_i(0 <= C_i <= 1,000)只奶牛。在选择集会的地点的时候，Bessie希望最大化方便的程度(也就是最小化不方便程度)。比如选择第X个农场作为集会地点，它的不方便程度是其它牛棚中每只奶牛去参加集会所走的路程之和，(比如，农场i到达农场X的距离是20，那么总路程就是C_i*20)。帮助Bessie找出最方便的地点来举行大集会。 考虑一个由五个农场 

组成的国家，分别由长度各异的道路连接起来。在所有农场中，3号和4号没有奶牛居住。

Input

第一行：一个整数N * 第二到N+1行：第i+1行有一个整数C_i * 第N+2行到2*N行，第i+N+1行为3个整数：A_i,B_i和L_i。

Output

* 第一行：一个值，表示最小的不方便值。

Sample Input

5
1
1
0
0
2
1 3 1
2 3 2
3 4 3
4 5 3

Sample Output

15

 

---

 

钦定(?)1为这棵树的根。

先dfs算出sz[x]表示x这棵子树的大小，dis[x]表示x到根的距离，易得sz[1]表示整棵树的大小。

最开始ans为集会地点在1的总移动距离，设ans'为当前选择点的子节点选择后的总移动距离。

那么：

ans′=ans–sz[to]∗e[i].w+（sz[1]–sz[to]）∗e[i].w；

化简：

ans′=ans+（e[1]–2∗sz[to]）∗wi

即sz[1]–2∗sz[to]<0时ans'<ans，说明子节点更优。

sz[1]-2*sz[to]<0?这不就是树的重心吗？

易知最优解即为在树的重心所取得。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long LL;
const int N=1e5+10;
struct node{
    int ne,to;LL w;
}e[N*2];
int tot=0,n,first[N],C[N];
LL dis[N],sz[N];
int read(){
    int ans=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-48;c=getchar();}
    return ans*f;
}
/*-----------------------------------------------------*/
LL ans=0;
void add(int u,int v,LL w){
    e[++tot]=(node){first[u],v,w};first[u]=tot;
    e[++tot]=(node){first[v],u,w};first[v]=tot;
}
LL dfs(int x,int fa){
    sz[x]=C[x];LL sum=dis[x]*C[x];
    for(int i=first[x];i;i=e[i].ne){
        int to=e[i].to;if(to==fa)continue;
        dis[to]=dis[x]+e[i].w;
        sum+=dfs(to,x);
        sz[x]+=sz[to];
    }
    return sum;
}
void move(int x,int fa){
    for(int i=first[x];i;i=e[i].ne){
        int to=e[i].to;
        if(to!=fa&&sz[1]<2*sz[to]){
            ans+=(sz[1]-2*sz[to])*e[i].w;
            move(to,x);return;
        }
    }
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)C[i]=read();
    for(int i=1,ai,bi;i<=n-1;i++){
        ai=read();bi=read();LL ci=read();add(ai,bi,ci);    
    }
    ans=dfs(1,0);
    move(1,0);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}