卡塔兰数

一、定义和公式：
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令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式 ：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)
卡特兰数又称卡塔兰数，卡特兰数 [组合数学] 常出现在各种计数问题
另类递推式:

**h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);**

递推关系的解为：

**h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)**

递推关系的另类解为：

**h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)**

二、具体问题：
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1.对于在n位的2进制中，有m个0，其余为1的catalan数为：C（n,m）-C(n,m-1)

2.矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

3.一个栈(无穷大)的[进栈] 序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

4.在一个[凸多边形] 中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）=h(n-2) (n是边数，边数大于3)

5.给定N个[节点] ，能构成多少种不同的[二叉搜索树]
（能构成h（N）个）

6.给定n对括号，求括号正确配对的字符串数，例如：
0对括号：[空序列] 1种可能
1对括号：() 1种可能
2对括号：()() (()) 2种可能
3对括号：((())) ()(()) ()()() (())() (()()) 5种可能
那么问题来了，n对括号有多少种正确配对的可能呢？
h(n)

7.有n个1和m个-1（n>=m），共n+m个数排成一列，满足对所有0<=k<=n+m的前k个数的部分和Sk >= 0的排列数?
C (n+m, m) - C (n+m, m-1)