数学篇 求两条直线的交点,说明过程
CAD调用说明
cad上面调用不用这么复杂,可以见 cad.net 投影三维图元到某个平面上+求图元交点
某些情况数学方法处理更佳.
简述
首先要说明,看懂本篇您并不需要高中文化水平...
为了求两条线的交点,首先要知道什么能求,而目前来说,我只知道高中数学的直线方程,那么我就要引入直线方程的概念...
然后为什么直线方程能求交点呢?因为同时满足两条联立的直线方程,它的共同解也就只能是交点...(这里没看懂没关系,跟着代码走的时候你就知道了.)
而直线方程实际上是描述一条两端无限延长的线,cad术语就是参照线,构成的两点只是过两点,而不是端点.
是参照线的话,这就有一个非常好的条件: 除非平行,否则必然有交点
那么在编程上,我拿到的数据一般是两个点..(x1,y1)(x2,y2)
通过这一条线坐标计算出斜率,这个斜率实际上就是直角三角形(高/底)
//斜率=高/底
var a = (y2 - y1) / (x2 - x1); //需考虑分母不能为0
var b = (y4 - y3) / (x4 - x3); //需考虑分母不能为0
这样就有个问题了,会存在分母可能为0的情况,需要先判断一下:
//因为求斜率需要用除法,分母可能为0,所以求斜率之前,
//需要判断两条线是否x轴平行或者y轴平行
if (Eq(x2, x1) && Eq(x4, x3))
throw new Exception("与y轴平行,两直线垂直,斜率不存在,无交点");
if (Eq(y2, y1) && Eq(y4, y3))
throw new Exception("与x轴平行,两直线水平,斜率为零,无交点");
//求斜率,分母为0并不报错,而是赋值成 Infinity
double a = (y2 - y1) / (x2 - x1); //需考虑分母不能为0 即x2=x1 l1垂直于x轴
double b = (y4 - y3) / (x4 - x3); //需考虑分母不能为0 即x4=x3 l2垂直于x轴
if (Eq(a, b))
throw new Exception("斜率一致,两直线斜着平行,无交点");
有了斜率和有两个点,就可以求直线方程,可以利用"点斜式"来求.
如果你想知道其他的方式,可以看直线方程的五种形式可看乐乐课堂,
用我的话来说,其他形式最后都会成为点斜式,因为它足够简单.
直线方程点斜式
y-y1=k(x-x1)
这里k是斜率(因两条直线:我的斜率是a和b),可以理解公式的x=x2,y=y2,为了使得x2,y2是个可变的点,所以用x,y代替(我的是_x,_y),成为未知数....这里x1,y1就是套入的点.
如下图,形象理解一下y-y1是竖,x-x1是横,竖=斜率*横
变换成:第一种 y=k(x-x1)+y1 这种比较重要! 因为众所周知的黎曼可积都是竖着切
变换成:第二种 x=(y-y1-k*x1)/k
然后由于未知数有两个还没法求,但是现在知道了一个条件: {知道x就可以推出y,知道y就可以推出x}
垂线情况
通过垂线得到_x,求出_y
我之前的代码否决了两条线都平行或者都垂直
还有一种情况未否决,这就是其中一条是垂直,它导致了一条线的分母是0,在c#中使用了分母为0的并不报错,而是double的值成为一个Infinity(正无穷)
如果使用了这个斜率就会报错,所以我需要避免使用这个它..
又由于这个斜率为0肯定是一条垂线,它的x1==x2是确定的,代表了两条直线的交点的_x肯定是这个x1.
通过条件{知道x就可以推出y,知道y就可以推出x}套入公式即可求_y
double _x, _y = 0;//未知数初始化
//L1或L2两直线可能其中一个有Y轴平行(垂直X轴)的
if (Eq(x2, x1)) //L1垂直于x轴 则x=x1=x2,(x2 - x1)是0==斜率a的分母,a=Infinity正无穷
{
_x = x1;
_y = b * x1 - b * x3 + y3;//公式变换第一种
return new double[] { _x, _y };
}
else if (Eq(x4, x3)) //L2垂直于x轴 则x=x3=x4,(x4 - x3)是0==斜率b的分母,b=Infinity正无穷
{
_x = x3;
_y = a * _x - a * x1 + y1;//公式变换第一种
return new double[] { _x, _y };
}
联立方程
现在剩下一种情况,就是两条都是斜的.这个时候需要联立方程.再重复提及一下: 因为直线方程描述是一条参照线,两端无限延长,除非平行,否则必有交点.
又因为交点是两条线的共同解,所以点斜式:line1和line2相减必然是0.
{第一条线的直线方程} - {第二条线的直线方程} = 0; //桥接你的思路: 因为交点.Y-交点.Y=0,交点.X-交点.X=0啊!
这样做的目的,就是算式剩下未知数是_x(其实反过来用X也可以)
套到公式就是这样:
[y=a(_x-x1)+y1] - [y=b(_x-x3)+y3] =0;
[a*(_x-x1)+y1] - [b*(_x-x3)+y3] =0;
[a*_x-a*x1+y1] - [b*_x-b*x3+y3] =0;
a*_x-a*x1+y1 - b*_x+b*x3-y3 =0; 去括号,括号前是-号,故此+-互变
a*_x-b*_x-a*x1+y1+b*x3-y3=0; 未知数的放一块
(a - b)* _x = 0 + a*x1 - y1 - b*x3 + y3; 移项,+-互变
_x = (a * x1 - y1 - b * x3 + y3) / (a - b);
//上面程序代码已经算了_x了,直接套入点斜式方程,通过条件{知道x就可以推出y,知道y就可以推出x}
_y = a * _x - a * x1 + y1;
就这样,大功告成....
直线方程一般式
在点斜式上面使用了逻辑避让开垂直和水平的情况,那么一般式里面本身就容纳这个逻辑.
可以看看数学家们是怎么利用各种直线方程归纳出一般式的,就明白了为什么"容纳"了,这个视频有.
代码
// https://blog.csdn.net/yangtrees/article/details/7965983
/// <summary>
/// 求交点,直线方程一般式,平行无解
/// </summary>
/// <returns>交点</returns>
public static PointV GetCrossPoint(PointV p1, PointV p2, PointV p3, PointV p4)
{
/* 直线方程一般式: Ax+By+C=0,推导:
* 当x1!=x2,则斜率[(y2-y1)/(x2-x1)],点斜式方程: y-y1=k(x-x1)
* y-y1 = [(y2-y1)/(x2-x1)]*(x-x1) ;高=斜率*底
* y = [(y2-y1)/(x2-x1)]*(x-x1)+y1 ;加法交换律,y=斜率*底+y1.
* (x2-x1)y = {[(y2-y1)/(x2-x1)]*(x-x1)+y1}*(x2-x1) ;两边同乘(x2-x1)
* = (y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)*(x2-x1) + y1(x2-x1) ;拆括号
* = (y2-y1)*(x-x1) + y1(x2-x1) ;约去两个相同(x2-x1)项
* = (y2-y1)x -(y2-y1)x1 + y1(x2-x1) ;这一步开始根据一般式的格式,将系数划分出来
* | |-(x1y2-x1y1)+ x2y1-x1y1 ;简单运算
* | |x2y1-x1y1-(x1y2-x1y1) ;简单运算
* | |x2y1-x1y1-x1y2+x1y1 ;简单运算
* (x2-x1)y | (y2-y1)x |x2y1-x1y2 ;简单运算
* -B | A |C ;格式
* ------------------------------------------------------;保留系数
* x1-x2 |y2-y1 |x2y1-x1y2 ;写入到代码中
* B | A |C ;直线方程一般式
*/
var a1 = p2.Y - p1.Y;
var b1 = p1.X - p2.X;
var c1 = p2.X * p1.Y - p1.X * p2.Y;
var a2 = p4.Y - p3.Y;
var b2 = p3.X - p4.X;
var c2 = p4.X * p3.Y - p3.X * p4.Y;
/* 求交点就是联立方程:
* (A1x+B1y+C1)-(A2x+B2y+C2)=0,二者实际上就是联立方程组的叉积应用
* 叉乘:依次用手指盖住每列,交叉相乘再相减,注意主副顺序
* x y z
* a1 b1 c1
* a2 b2 c2
*/
var x = b1 * c2 - b2 * c1;//主-副(左上到右下是主,左下到右上是副)
var y = a2 * c1 - a1 * c2;//副-主
var z = a1 * b2 - a2 * b1;//主-副,为0表示两直线重合
var cp = new PointV();
if (Math.Abs(z) > 1e-8)
{
cp.X = x / z;
cp.Y = y / z;
//cp.Z = z / z;
}
//唉唉唉!!!这样Z不都是1了?直线方程是平面坐标系,因此Z抹去,
//那么明明叉乘是可以满足XYZ的推导,恰恰这个时候告诉你Z抹去了,
//那是不是代表说,直线方程 上面少了参数?然后就可以描述成 空间直线方程?
//所以就延伸出 空间直线方程一般式: Ax+By+Cz+D=0.
return cp;
}
编程特有
如果你把这个提示报错代码去掉,会出现有意思的东西.
测试代码
先下载一个PointV类
控制台测试
using JoinBox.BasalMath;
using System.Runtime.InteropServices;
using static JoinBox.BasalMath.Geometrist;
namespace 求交点
{
public class test
{
public static void Print(string str)
{
System.Console.WriteLine(str);
}
public static void Main(string[] args)
{
PointV pt;
//水平平行
pt = IntersectWith(PointV.Origin, new PointV(10, 0), new PointV(0, 5), new PointV(10, 5));
Print(pt.ToString());
//垂直平行
pt = IntersectWith(PointV.Origin, new PointV(0, 10), new PointV(5, 0), new PointV(5, 10));
Print(pt.ToString());
//一斜一水平
pt = IntersectWith(PointV.Origin, new PointV(10, 10), new PointV(0, 5), new PointV(10, 5));
Print(pt.ToString());
//一斜一垂直
pt = IntersectWith(PointV.Origin, new PointV(10, 10), new PointV(5, 0), new PointV(5, 10));
Print(pt.ToString());
//L1线垂直
pt = IntersectWith(new PointV(5, 0), new PointV(5, 10), PointV.Origin, new PointV(10, 10));
Print(pt.ToString());
//L2线垂直
pt = IntersectWith(PointV.Origin, new PointV(10, 10), new PointV(5, 0), new PointV(5, 10));
Print(pt.ToString());
//两条都是斜的 交点
pt = IntersectWith(PointV.Origin, new PointV(10, 10), new PointV(10, 0), new PointV(0, 10));
Print(pt.ToString());
//两条都是斜着 平行
pt = IntersectWith(PointV.Origin,
new PointV(1, 1),
new PointV(0.70710678118655, -0.70710678118655),
new PointV(1.70710678118655, 0.29289321881345));
Print(pt.ToString());
}
}
}
封装
using System;
namespace JoinBox.BasalMath
{
public partial class Geometrist
{
/// <summary>
/// 直线方程求交点
/// </summary>
public static PointV IntersectWith(PointV p1, PointV p2, PointV p3, PointV p4)
{
var obj = IntersectWith(p1.X, p1.Y, p2.X, p2.Y, p3.X, p3.Y, p4.X, p4.Y);
return new PointV(obj);
}
static bool Eq(double a, double b, double tolerance = 1e-6)
{
return Math.Abs(a - b) < tolerance;
}
/// <summary>
/// 直线方程求交点
/// </summary>
static double[] IntersectWith(
double x1, double y1,
double x2, double y2,
double x3, double y3,
double x4, double y4)
{
//因为求斜率需要用除法,分母可能为0,所以求斜率之前,
//需要两条线是否x轴平行或者y轴平行
if (Eq(x2, x1) && Eq(x4, x3))
throw new Exception("与y轴平行,两直线垂直,斜率不存在,无交点");
if (Eq(y2, y1) && Eq(y4, y3))
throw new Exception("与x轴平行,两直线水平,斜率为零,无交点");
//求斜率,分母为0并不报错,而是赋值成 Infinity
double a = (y2 - y1) / (x2 - x1); //需考虑分母不能为0 即x2=x1 l1垂直于x轴
double b = (y4 - y3) / (x4 - x3); //需考虑分母不能为0 即x4=x3 l2垂直于x轴
if (Eq(a, b))
throw new Exception("斜率一致,两直线斜着平行,无交点");
double _x, _y;
//L1或L2两直线可能其中一个有Y轴平行(垂直X轴)的
if (Eq(x2, x1)) //L1垂直于x轴 则x=x1=x2,(x2 - x1)是0==a分母,a=Infinity正无穷
{
_x = x1;
_y = b * x1 - b * x3 + y3;//公式变换第一种
return new double[] { _x, _y };
}
else if (Eq(x4, x3)) //L2垂直于x轴 则x=x3=x4,(x4 - x3)是0==b分母,b=Infinity正无穷
{
_x = x3;
_y = a * _x - a * x1 + y1;//公式变换第一种
return new double[] { _x, _y };
}
//两条直线都是非垂直状态
/* 知道了点和斜率,那么两条点斜式方程联立.
因为直线方程是一条参照线,两端无限延长,除非平行,否则必有交点.
又因为交点是两条线的共同解,所以点斜式:line1和line2的y相减是0,y=k(_x-x1)+y1
所以未知数y就相减去掉,剩下x,来求y.
反之,也可以相减去掉x,来求y.
[y=a(_x-x1)+y1] - [y=b(_x-x3)+y3] =0;
[a*(_x-x1)+y1] - [b*(_x-x3)+y3] =0;
[a*_x-a*x1+y1] - [b*_x-b*x3+y3] =0;
a*_x-a*x1+y1 - b*_x+b*x3-y3 =0; 去括号,+-互变
(a - b)* _x = 0 + a*x1 - y1 - b*x3 + y3; //移项,+-互变
_x = (a * x1 - y1 - b * x3 + y3) / (a - b);
*/
_x = (a * x1 - y1 - b * x3 + y3) / (a - b);
//但是上面程序代码已经算了_x了,直接套入点斜式方程,偷懒...也可以通过公式计算
/* y-y1=k*x-k*x1
y-y1+k*x1=k*x
(y-y1+k*x1)/k=x
[(y-y1-a*x1)/a] - [(y-y3-b*x3)/b] =0; //这是按照公式的方法
*/
_y = a * _x - a * x1 + y1; // 点斜式方程 y-y1=k(x-x1)
return new double[] { _x, _y };
}
}
}
CAD测试
namespace JoinBox
{
public class CmdTest
{
[CommandMethod("CmdTest_IntersectWith")]
public void CmdTest_IntersectWith()
{
var doc = Acap.DocumentManager.MdiActiveDocument;
var ed = doc.Editor;
var db = doc.Database;
ed.WriteMessage(Environment.NewLine + "惊惊net测试区:");
var pts = new List<Point3d>();
var ppo = new PromptPointOptions("")
{
AllowArbitraryInput = true,//任意输入
AllowNone = true //允许回车
};
for (int i = 0; i < 4; i++)
{
ppo.Message = $"{Environment.NewLine}测试点{i + 1}:";
var ppr = ed.GetPoint(ppo);//用户点选
if (ppr.Status != PromptStatus.OK)
return;
pts.Add(ppr.Value);
}
var pt1 = Geometrist.IntersectWith(pts[0], pts[1], pts[2], pts[3]);
ed.WriteMessage("\n点斜式交点1是:" + pt1.ToString());
var pt2 = Geometrist.GetCrossPoint(pts[0], pts[1], pts[2], pts[3]);
ed.WriteMessage("\n一般式交点2是:" + pt2.ToString());
}
}
}
(完)
