「ST表」学习笔记

ST表

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ST表是解决RMQ (区间最值) 问题的经典算法。

时间复杂度上 \(O(nlog(n))\) 预处理，\(O(1)\) 处理询问。

但是ST表只能用于求静态区间最值，动态区间还是需要线段树等算法。

基本原理

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ST表基于倍增思想，实质是DP

考虑DP

如果用 \(f[i][j]\) 表示区间 \([i,j]\) 中的最值，显然 \(f[i][j]=max/min(f[i][j-1],a_j)\) ，这样有 \(O(n^2)\) 的复杂度，但仍不够优秀。

那么如何优化呢？

接下来就是ST表了，区间最值有一个重要的性质——max操作允许两个区间重叠，即可以用两个覆盖大区间的小区间推出一个大的区间的最值，这里就要利用倍增的思想。

我们用 \(f[i][j]\:(n*\log_2(n))\) 表示从第 \(i\) 个数开始，连续 \(2^j\) 个数中的最值，即区间 \([i,i+2^j-1]\) 中的最值。

有：

\(f[i][0]=a_i\)

\(f[i][j]=max/min(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])\)

那么DP转移方程是怎么来的呢？

根据定义，\(f[i][j]\) 表示的是 \([i,i+2^j-1]\) 的最值，\([i,i+2^j-1]\) 就要用 \([i,i+2^{j-1}-1]\) 和 \([i+2^{j-1},i+2^j-1]\) 来覆盖。对应到 \(f\) 数组上，就分别是 \(f[i][j-1]\:,\:f[i+2^{j-1}][j-1]\) 。

然后是如何处理询问：

对于询问的区间 \([x,y]\) ，我们要用 \(f\) 数组覆盖它：

从 \(x\) 开始向右取 \(2^{\lfloor\log_2(y-x+1)\rfloor}\) 个数作为左区间，从 \(y\) 开始也取 \(2^{\lfloor\log_2(y-x+1)\rfloor}\) 个数作为右区间。

表示层区间分别是 \([x,x+2^{\lfloor\log_2(y-x+1)\rfloor}-1]\) 和 \([y-2^{\lfloor\log_2(y-x+1)\rfloor}+1,y]\) 。

对应到 \(f\) 数组：

设 \(j=\lfloor\log_2(y-x+1)\rfloor\) ，\(Query(x,y)=max/min(f[x][j],f[y-2^j+1][j])\)

附上代码

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m;
int a[100001];
int f[100001][50];
void init(int n) {
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=a[i];
	for(int j=1;(1<<j)<=n;j++) 
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++) 
            f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
int query(int x,int y) {
	int j=log(y-x+1)/log(2);
	return max(f[x][j],f[y-(1<<j)+1][j]);
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	init(n);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int a,b;
		scanf("%d%d",&a,&b);
		printf("%d\n",query(a,b));
	}
}