LG P4774 [NOI2018]屠龙勇士
Description
小 D 最近在网上发现了一款小游戏。游戏的规则如下：
- 游戏的目标是按照编号 $1 \rightarrow n$ 顺序杀掉 $n$ 条巨龙，每条巨龙拥有一个初始的生命值 $a_i$ 。同时每条巨龙拥有恢复能力，当其使用恢复能力时，它的生命值就会每次增加 $p_i$ ，直至生命值非负。只有在攻击结束后且当生命值 **恰好** 为 $0$ 时它才会死去。
- 游戏开始时玩家拥有 $m$ 把攻击力已知的剑，每次面对巨龙时，玩家只能选择一把剑，当杀死巨龙后这把剑就会消失，但作为奖励，玩家会获得全新的一把剑。
小 D 觉得这款游戏十分无聊，但最快通关的玩家可以获得 ION2018 的参赛资格，于是小 D 决定写一个笨笨的机器人帮她通关这款游戏，她写的机器人遵循以下规则：
- 每次面对巨龙时，机器人会选择当前拥有的，攻击力不高于巨龙初始生命值中攻击力最大的一把剑作为武器。如果没有这样的剑，则选择 **攻击力最低** 的一把剑作为武器。
- 机器人面对每条巨龙，它都会使用上一步中选择的剑攻击巨龙固定的 $x$ 次，使巨龙的生命值减少 $x \times ATK$ 。
- 之后，巨龙会不断使用恢复能力，每次恢复 $p_i$ 生命值。若在使用恢复能力前或某一次恢复后其生命值为 $0$ ，则巨龙死亡，玩家通过本关。
那么显然机器人的攻击次数是决定能否最快通关这款游戏的关键。小 D 现在得知了每条巨龙的所有属性，她想考考你，你知道应该将机器人的攻击次数 $x$ 设置为多少，才能用最少的攻击次数通关游戏吗？
当然如果无论设置成多少都无法通关游戏，输出 $-1$ 即可。
Solution
对于每一条龙的攻击力是已知的，可以用平衡树维护
设当前这一条龙对应的剑攻击力为$k$，攻击次数为$x$，那么必须满足：
$$kx \equiv a \pmod p 且 kx \geq a$$
那么就是解形如$kx \equiv a \pmod p$的线性方程组
考虑一个其他问题：解形如$x \equiv c$的线性方程组：
$$\begin{cases}x\equiv c_1(\mod m_1)\\x\equiv c_2(\mod m_2)\end{cases}$$
先转化为一般方程：
$$\begin{cases}x=c_1+m_1x_1\\x=c_2+m_2x_2\end{cases}$$
两式相等：
$$m_1x_1+m_2x_2=c_2-c_1$$
用Exgcd求$x_1$的一个解$x'$，$g=gcd(m_1,m_2)$，通解$\frac{c_2-c_1}gx'+\frac{m_2}gt(t\in Z)$
将通解代回一式得
$$x\equiv c_1+\frac{m_1(c_2-c_1)}gx'(\mod {\frac{m_1m_2}gt})$$
现在考虑解形如$kx \equiv a \pmod p$的方程组，设总方程为$x\equiv c \pmod m$
设$g=gcd(k,p)$，用Exgcd解$x'$，得$x\equiv\frac a gx'(\mod\frac p g)$
变成了上一个问题
需要的特判：
当$p\mid k$且$p\mid a$，方程恒成立，不与原方程合并
当$p\mid k$且$p\nmid a$，方程恒不成立，判断无解
解方程时不满足裴蜀定理，判断无解
答案需要满足$x\geq\lceil\frac a k\rceil$
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<set> using namespace std; long long T,n,m,a[100005],p[100005],b[100005],maxx,c,G,x,y; multiset<long long>s; inline long long read() { long long w=0,f=1; char ch=0; while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9')w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0',ch=getchar(); return w*f; } void exgcd(long long a,long long b) { if(!b) { G=a,x=1,y=0;return; } exgcd(b,a%b); int t=x; x=y,y=t-a/b*y; } long long mul(long long a,long long k,long long mod) { long long ret=0; while(k) { if(k&1) (ret+=a)%=mod; (a<<=1)%=mod,k>>=1; } return ret; } int main() { T=read(); loop:for(;T;T--) { n=read(),m=read(),s.clear(); for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(); for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=read(); for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read(); for(int i=1;i<=m;i++) s.insert(read()); m=1,maxx=c=0; for(int i=1;i<=n;i++) { set<long long>::iterator it=s.upper_bound(a[i]); if(it!=s.begin()) --it; long long k=*it; s.erase(it),s.insert(b[i]),maxx=max(1.0*maxx,ceil((double)a[i]/(double)k)); k%=p[i],a[i]%=p[i]; if(!k&&a[i]) { puts("-1"),T--;goto loop; } if(!k&&!a[i]) continue; exgcd(k,p[i]); if(a[i]%G) { puts("-1"),T--;goto loop; } p[i]/=G,a[i]=mul(a[i]/G,(x%p[i]+p[i])%p[i],p[i]); exgcd(m,p[i]); if((a[i]-c)%G) { puts("-1"),T--;goto loop; } m=m/G*p[i],(c+=mul(mul(m/p[i],((a[i]-c)%m+m)%m,m),(x%m+m)%m,m))%=m; } printf("%lld\n",c>=maxx?c:c+m*((maxx-c-1)/m+1)); } return 0; }
