LG P4548 [CTSC2006]歌唱王国

Description

在歌唱王国，所有人的名字都是一个非空的仅包含整数 $1\sim n$ 的字符串。

王国里生活着一大群咕噜兵，他们靠不停地歌唱首领——牛人酋长们的名字来获取力量。咕噜兵每一次歌唱过程是这样的：首先，他从整数生成器那儿获得一个数字，然后花一个时间单位将此数字唱出来，如果他发现某个牛人酋长的名字已经被歌唱出来（即此名字是歌唱序列的一个连续子串），那么这次歌唱过程就立即结束。

相关名词定义：

- 歌唱序列：如果某人歌唱了 $x$ 个数字，第 $i$ 次歌唱的数字为 $a_i$，那么歌唱序列 $=(a_1,a_2,\cdots,a_x)$。
- 整数生成器：歌唱王国的神物，它有一个按钮，如果你按一下按钮，将从 $1\sim n$ 数字中等概率的随机返回一个整数。
- 歌唱时间：在一次歌唱过程中花费的时间。

歌唱时间是随机的，无法预料；不过歌唱时间的期望值是固定的，此期望值即平均来说歌唱时间有多长，亦可称作平均歌唱时间。

王国里的人非常喜欢歌唱，他们希望歌唱的时间越长越好，所以他们决定罢免一些牛人酋长，使得平均歌唱时间变长。但是他们不能罢免掉所有的牛人酋长，否则他们每次歌唱都无法停止，无法获取力量；于是他们决定只保留一个牛人酋长而罢免其余的牛人酋长。

你的任务是：对于给定的 $n$、牛人酋长的个数 $t$ 以及每一个牛人酋长的名字，告诉王国里的人们，对于 $1\leq i\leq t$，如果保留第 $i$ 个牛人酋长，罢免掉其余的，那么平均歌唱时间将是多少。

提示：此数为一个非负整数！

输出要求：由于这个数字太大，所以你只需输出这个数的末 $4$ 位数字。如果不足 $4$ 位，则前面补 $0$

Solution

设$f_x$为长度为$x$时成功匹配的概率，$g_x$为长度为$x$时尚未成功匹配的概率

写出$f$的概率生成函数

$$F(x)=\sum_{i=0}^{+ \infty} P_i x_i$$

同样的写出$g$的

发现$F(1)=1,F'(1)=E(x),F(x)+G(x)=G(x)x+1$

上式的意义类似于DP转移

还有一关系式，设$m$为字符集大小,$l$为字符串长度,$a$是该位是否为border的布尔数组

$$\left ( \frac{1}{m} \right ) ^lg_x =\sum _{i=1}^l a_i\left ( \frac{1}{m} \right )^{l-i}f_{x+i} $$

考虑在没有完成匹配的字符串后面接一个随机出一个原串的概率，右半部分是有可能产生原串的border导致提前匹配

写成生成函数的形式

$$\left ( \frac{x}{m} \right ) ^lG(x) =F(x)\sum _{i=1}^l a_i \left ( \frac{x}{m} \right ) ^{l-i}$$

对一式求导得

$$F'(x)+G'(x)=xG'(x)+G(x)$$

移项得

$$F'(x)=(x-1)G'(x)+G(x)$$

将$1$代入$x$

$$F'(1)=G(1)=E(x)$$

这非常屌，再搞另一个式子，已经知道要算$G(1)$，所以也代入$1$

$$G(1)=\sum_{i=1}^l a_im^i$$

KMP或者hash胡搞，$O(l)$求解

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,t,m;
bool a[100005];
unsigned long long b[100005]={1},str[100005],has[100005],pn[100005]={1},ans;
const unsigned long long mod=10000,base=1e9+7;
inline int read()
{
    int f=1,w=0;
    char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return f*w;
}
int main()
{
    n=read(),t=read();
    for(int i=1;i<=100000;i++) b[i]=b[i-1]*base;
    for(int i=1;i<=100000;i++) pn[i]=pn[i-1]*n%mod;
    for(;t;t--)
    {
        m=read(),ans=0;
        for(int i=1;i<=m;i++) str[i]=read(),has[i]=has[i-1]*base+str[i];
        for(int i=1;i<=m;i++) a[i]=(has[i]==has[m]-has[m-i]*b[i]);
        for(int i=1;i<=m;i++) (ans+=a[i]*pn[i]%mod)%=mod;
        if(ans<1000) printf("0");
        if(ans<100) printf("0");
        if(ans<10) printf("0");
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}