LG P2179 [NOI2012]骑行川藏

Description

蛋蛋非常热衷于挑战自我,今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨. 川藏线的沿途有着非常美丽的风景,但在这一路上也有着很多的艰难险阻,路况变化多端,而蛋蛋的体力十分有限,因此在每天的骑行前设定好目的地,同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情. 由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车,因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功(不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响). 某一天他打算骑 $n$段路,每一段内的路况可视为相同：

对于第 $i$ 段路,我们给出有关这段路况的 $3$ 个参数$s_i,k_i,v_i'$，其中 $s_i$表示这段路的长度，$k_i$ 表示这段路的风阻系数，$v_i'$​ 表示这段路上的风速（$v_i' > 0$表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。

若某一时刻在这段路上骑车速度为 $v$，则他受到的风阻 大小为 $F=k_i(v-v')^2$（这样若在长度为 $s$ 的路程内保持骑行速度 $v$ 不变,则他消耗能量（做功）$E=k_is_i(v-v')^2$）。

设蛋蛋在这天开始时的体能值是 $E_U$，请帮助他设计一种行车方案,使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间 $T$ 是多少。

Solution

先令在顺风路段的车速为风速，逆风路段的车速为$0$，这样可以得到消耗能量的最小值

考虑消耗能量提升速度，从而减少时间

可以作出每个路段的$t-E$图像，发现不同路段消耗单位能量减少的时间不同

贪心地想，每次都选择单位能量减少时间最多的那条路段，在该路段上花费能量

如此反复，最终能量耗尽时，所有路段上的$t-E$图像在该路段消耗的$E_i$处切线斜率相等

$$\left \{ \begin{matrix}
E=ks(v-v')^2\\
v=\frac{s}{t}
\end{matrix} \right .$$

解$t$对于$E$的导数，二分该导数