LG P3951 小凯的疑惑 / [蓝桥杯2013省]买不到的数目

Description

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有 无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小 凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在 小凯无法准确支付的商品。

Solution

证明：$ab-a-b$ 为符合题意的最大的正整数

 

先证明 $ab-a-b$ 符合题意：

一个数 $x$ 能够被表示，当且仅当它能被表示为 $x=ax+by(x,y \in N)$

容易发现，方程 $ax+by=ab-a-b$ 有两组解
$$
x=b-1,y=-1 和 x=-1,y=a-1
$$

通过其通解形式
$$
x=x_0+tb,y=y_0-ta,(x,y是方程的任意一组解)
$$

可以发现它们是连续的两组解，如果方程有非负整数解，必然会夹在这两组解中间，但又因为两组解连续，所以方程 $ax+by=ab-a-b$ 没有非负整数解

 

再证明 $ab-a-b$ 最大

假设 $ab-a-b$ 为最大的不能被表示的数，那么现在要证 $\forall c > ab-a-b$ 都可以被表示

根据方程的通解$x=x_0+tb,y=y_0-ta$，注意到 $x=x_0+tb$ 可以写成 $x \equiv x_0 \pmod b$，于是必然存在一组解满足 $0 \leq x \leq b-1$，化简上式
$$
ax \leq ab-a
$$

$$
by=c-ax \geq c-ab+a > ab-a-b-ab+a=-b
$$

$\because b>0$

$\therefore y+1>0$，即 $y \geq 0$

于是就构造出任意 $ax+by=c>ab-a-b$ 的非负整数解

证毕