LG P2592 [ZJOI2008]生日聚会

Description

今天是hidadz小朋友的生日，她邀请了许多朋友来参加她的生日party。 hidadz带着朋友们来到花园中，打算坐成一排玩游戏。为了游戏不至于无聊，就座的方案应满足如下条件：

对于任意连续的一段，男孩与女孩的数目之差不超过$k$。

很快，小朋友便找到了一种方案坐了下来开始游戏。hidadz的好朋友Susie发现，这样的就座方案其实是很多的，所以大家很快就找到了一种，那么到底有多少种呢？热爱数学的hidadz和她的朋友们开始思考这个问题……

假设参加party的人中共有$n$个男孩与$m$个女孩，你是否能解答Susie和hidadz的疑问呢？由于这个数目可能很多，他们只想知道这个数目除以$12345678$的余数。

Solution

题目中要求每一段的男女数目差$\leq k$，可以转化为每一段前缀的每一段后缀的男女数目差$\leq k$

设$dp_{i,j,x,y}$表示目前的前缀中有男生$i$个，女生$j$个，在其所有后缀中男生最多比女生多$x$人，女生最多比男生多$y$人

这样从从短向长枚举前缀就可以检查每一段的男女数量差

$$dp_{i+1,j,x+1,max(0,y-1)}+=dp_{i,j,x,y}$$

$$dp_{i,j+1,max(0,x-1),y+1}+=dp_{i,j,x,y}$$

对$0$取$max$的原因在于：将空串也视为原序列的一个后缀，那么每加入一个人不仅会使上一个前缀的所有后缀长度增加，而且会新增一个空串作为后缀。若此时$x$
或$y$中有负值，则可以取最后的空串使其值更大（值为$0$）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,k,dp[160][160][25][25],ans;
const int mod=12345678;
inline int read()
{
    int f=1,w=0;
    char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return f*w;
}
int main()
{
    n=read();
    m=read();
    k=read();
    dp[0][0][0][0]=1;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            for(int x=0;x<=k;x++)
            {
                for(int y=0;y<=k;y++)
                {
                    (dp[i+1][j][x+1][max(0,y-1)]+=dp[i][j][x][y])%=mod;
                    (dp[i][j+1][max(0,x-1)][y+1]+=dp[i][j][x][y])%=mod;
                }
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<=k;i++)
    {
        for(int j=0;j<=k;j++)
        {
            (ans+=dp[n][m][i][j])%=mod;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}