LG P4953 [USACO02FEB]Cow Cycling

Description

奶牛自行车队由$N$名队员组成，他们正准备参加一个比赛，这场比赛的路程共有$D$圈。 车队在比赛时会排成一条直线，由于存在空气阻力，当骑车速度达到每分钟$x$圈时，领头的 奶牛每分钟消耗的体力为$x^2$，其它奶牛每分钟消耗的体力为$x$。每头奶牛的初始体力值都是 相同的，记作$E$。如果有些奶牛在比赛过程中的体力不支，就会掉队，掉队的奶牛不能继续 参加比赛。每支队伍最后只要有一头奶牛能到终点就可以了。

比赛规定，最小的计时单位是分钟，在每分钟开始的时候，车队要哪头奶牛负责领头， 领头奶牛不能在这分数中内掉队，每分钟骑过的圈数也必须是整数。

请帮忙计划一下，采用什么样的策略才能让车队以最快的时间到达终点？

Solution

可以发现对于一个确定的方案，改变每头牛作为领队的顺序不会对答案产生影响，所以钦定每头牛按顺序作为领队，离开领队位置时就离开队伍

设$dp_{i,j,k}$表示当前车队有$i$头牛，领队的体力为$j$，其余的体力为$k$

$$dp_{i,j-l^2,k-l}=min(dp_{i,j,k}+1),j-l^2 \geq 0$$

$$dp_{i-1,k-l^2,k-l}=min(dp_{i,j,k}+1),k-l^2 \geq 0$$

分别对应换不换领队

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,e,d,dp[25][105][105],ans=1<<30;
inline int read()
{
    int f=1,w=0;
    char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return f*w;
}
int main()
{
    n=read();
    e=read();
    d=read();
    memset(dp,127,sizeof(dp));
    dp[n][e][e]=0;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        for(int j=e;j>=0;j--)
        {
            for(int k=e;k>=0;k--)
            {
                for(int l=1;l<=10&&j-l*l>=0&&l<=d;l++)
                {
                    dp[i][j-l*l][k-l]=min(dp[i][j-l*l][k-l],dp[i][j][k]+1);
                }
                for(int l=1;l<=10&&k-l*l>=0&&l<=d;l++)
                {
                    dp[i-1][k-l*l][k-l]=min(dp[i-1][k-l*l][k-l],dp[i][j][k]+1);
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=e;j++)
        {
            ans=min(ans,dp[i][j][e-d]);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}