数论函数、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演和杜教筛

数论函数

常见的数论函数：

欧拉函数

$$\varphi(n)=\sum_{i=1}^{n}[(n, i)=1]$$

元函数

$$ \epsilon(n)=[n=1]$$

恒等函数

$$1(n)=1$$

标号函数

$$Id(n)=n$$

除数函数

$$\sigma(k, x)=\sum_{d \mid x} d^{k}$$

$k$省略时默认$k=1$

莫比乌斯函数

设$x$的唯一分解式为$x=p_{1}^{c_{1}} p_{2}^{c 2} \ldots p_{k}^{c k}$，则

$$\mu(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1 & x=1 \\
(-1)^{m} & \forall i \in[1, k], c_{i}=1 \\
0 & \text { otherwise }
\end{array}\right.$$

狄利克雷卷积

定义

对于两个数论函数$f$和$g$，其狄利克雷卷积定义为

$$(f * g)(n)=\sum_{d \mid n} f(d) \cdot g\left(\frac{n}{d}\right)$$

函数积性

如果$f$和$g$都是积性函数，则$(f*g)$也是积性函数

常见数论函数的狄利克雷卷积

莫比乌斯函数

$$\mu * 1=\epsilon$$

欧拉函数

$$\varphi * 1=i d$$

莫比乌斯反演

定义$F(n)$和$f(n)$是定义在非负整数几何上的两个函数

形式一

$$F(n)=\sum_{n|d}f(d)$$

$$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$$

形式二

$$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$$

$$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)$$

杜教筛

证明

已知数论函数$f(x)$，要求$\sum_{i=1}^n f(i)$

构造两个积性函数$h$和$g$，使$f*g=h$

记$S(n)=\sum_{i=1}^n f(i)$

\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^{n} h(i)&=&\sum_{i=1}^{n} \sum_{d \mid i} g(d) \cdot f\left(\frac{i}{d}\right)\\
\sum_{i=1}^{n} h(i)&=&\sum_{d=1}^{n} g(d) \cdot \sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor} f(i) \\
\sum_{i=1}^{n} h(i)&=&\sum_{d=1}^{n} g(d) \cdot S\left(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor\right)
\end{array}

\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{n} h(i)&=g(1) \cdot S(n)+\sum_{d=2}^{n} g(d) \cdot S\left(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor\right) \\
g(1) S(n)&=\sum_{i=1}^{n} h(i)-\sum_{d=2}^{n} g(d) \cdot S\left(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor\right)
\end{array}

代码

int djs2(int x)
{
    if(x<=9000000)//线性筛预处理 
        return mu[x];
    if(w2[x])//map记忆化搜索 
        return w2[x];
    int ret=1;
    for(int i=2;i<=x;)//整除分块 
    {
        int j=x/(x/i);
        ret-=(j-i+1)*djs2(x/i);
        i=j+1;
    }
    return w2[x]=ret;
}