关于孙子定理（中国剩余定理）及其证明

孙子定理的内容：

给出以下的一元线性同余方程组：

$(S):\begin{cases}x\equiv a_1\pmod{m_1}\\x\equiv a_2\pmod{m_2}\\\ldots\\x\equiv a_n\pmod{m_n}\end{cases}$

假设整数$m_1,m_2,\ldots ,m_n$两两互质，则对任意的整数：$a_1,a_2,\ldots a_n$，方程组$(S)$有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设$M=m_1\times m_2\times \ldots \times m_n=\prod_{i=1}^n m_i$，并设$M_i=\frac{M}{m_i},\forall i\in \begin{Bmatrix}1,2,\ldots n\end{Bmatrix}$

设$t_i=M_i^{-1}$为$M_i$模$m_i$的数论倒数（$t_i$为$M_i$模$m_i$意义下的逆元），即$M_it_i\equiv 1\pmod{m_i},\forall i\in \begin{Bmatrix}1,2,\ldots ,n\end{Bmatrix}$.

方程组$(S)$的通解形式为$x=a_1t_1M_1+a_2t_2M_2+\ldots a_nt_nM_n+kM=kM+\sum_{i=1}^n a_it_iM_i,k\in Z$.

在模$M$的意义下，方程组$(S)$只有一个解：$x=\begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n a_it_iM_i\end{pmatrix} \pmod{M}$

证明：

 从假设可知，对任何$i\in \begin{Bmatrix}1,2,\ldots ,n\end{Bmatrix},j\ne i,gcd(m_i,m_j)=1$，所以$gcd(m_i,M_i)=1$.

这说明存在整数$t_i$使得$t_iM_i\equiv 1\pmod{m_i}$.这样的$y_i$叫做$M_i$模$m_i$的数论倒数。

考察乘积$a_it_iM_i$可知：

$$a_it_iM_i\equiv a_i\times 1\equiv a_i\pmod{m_i}$$

$$\forall j\in \begin{Bmatrix}1,2,\ldots ,n\end{Bmatrix},j\ne i,a_it_iM_i\equiv 0\pmod{m_j}$$

所以$x=a_1t_1M_1+a_2t_2M_2+\ldots +a_nt_nM_n$满足：

$$\forall i\in \begin{Bmatrix} 1,2,\dots ,n\end{Bmatrix},x=a_it_iM_i+\sum_{j\ne i}a_jt_jM_j\equiv a_i+\sum_{j\ne i}0\equiv a_i\pmod{m_i}$$

这说明$x$就是方程组$(S)$的一个解。

另外，假设$x_1$和$x_2$都是方程组$(S)$的解，那么：

$$\forall i\in \begin{Bmatrix}1,2,\ldots ,n\end{Bmatrix},x_1-x_2\equiv 0\pmod{m_i}$$

而$m_1,m_2,\ldots m_n$两两互质，这说明$M=\prod_{i=1}^n m_i\mid x_1-x_2$，所以方程组$(S)$的任何两个解之间必然相差$M$的整数倍。而另一方面，$x=a_1t_1M_1+a_2t_2M_2+\ldots a_nt_nM_n$是一个解，同时所有格式为：

$$a_1t_1M_1+a_2t_2M_2+\ldots a_nt_nM_n+kM=kM+\sum_{i=1}^n a_it_iM_i,k\in Z$$

的整数也是方程组$(S)$的解。所以方程组所有的解的集合就是：$\begin{Bmatrix} kM+\sum_{i=1}^n a_it_iM_i,k\in Z\end{Bmatrix}$.