关于扩展欧几里得定理及其证明

扩展欧几里得算法内容：

$$\forall a,b\in N,b\neq 0,gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$$

扩展欧几里得定理1：

设$a$和$b$不全为$0$，则存在整数$x$和$y$，使得$ax+by=gcd(a,b)$

定理1的证明：

$\forall a,b\in N,b\neq 0,gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$ 

设$a$和$b$不全为$0$，则存在任意整数$x$和$y$，使得$ax+by=gcd(a,b)$

当$b=0$时，$x=1,y=0$

当$b\neq 0$时，假设存在一对整数$x',y'$，满足$bx'+(a\%b)y'=gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)$

  那么，$bx'+(a-\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor \times b)y'=gcd(a,b)$

  所以，$ay'+b(x'-\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor \times y')=gcd(a,b)$

  所以，令$x=y',y=x'-\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor y'$，就得到了$ax+by=gcd(a,b)$

扩展欧几里得定理2：

 对于不定方程$ax+by=c$当且仅当$gcd(a,b)\mid c$时，方程有整数解。

定理2的证明：

当$gcd(a,b)\mid c$时，设$g=gcd(a,b),a'=\frac{a}{g},b'=\frac{b}{g},c'=\frac{c}{g}$。

我们可以用扩展欧几里得算法求出不定方程$a'x'+b'y'=1$的整数解。

那么$a'c'x'+b'c'y'=c'$

$a'gc'x'+b'gc'y'=c'g$

即$ac'x'+bc'y'=c$，所以，$x_0=c'x',y_0=c'y'$是方程的一组解。

因为不定方程$a'x+b'y=c'\Leftrightarrow$同余方程$a'x\equiv c'(mod b')$，所以$x$是模$b'$同余的一个剩余类，所以该不定方程的通解为$x=x_0+b't,y=y_0-a't(t\in Z)$。

当$gcd(a,b)\nmid c$时，就没有上述求解过程，所以方程无解.