数据结构1 倍增、ST表，RMQ

使用  倍增、ST表   解决区间最值的查询问题   RMQ 

1.倍增

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任意整数均可表示成若干个2的次幂项的和.

5--》101

26--》11010

也就是说2的次幂可以拼接成任何一个需要的值

 

倍增：成倍的增长，如果问题的状态空间特别大，一步一步的递推算法复杂度太高，可以通过倍增思想，只考察2的整数次幂位置，快速缩小求解范围，知道所要的解。

 

2.ST表

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系数表Sparse Table算法采用倍增的思想，在O(NlogN)的时间构造一个二维表之后，可以在o(1)的时间在线查询区间[l,r]的最值。ST算法可以有效的解决在线RMQ问题

F[i,j]表示区间[i, i+2^j-1]的最值，区间长度为2^j

 

其实就是基于动态规划的思想 的 静态表方法

通过k=logn将🌲树表划分取值

1,2,3...k

 

 

#include <iostream>
#include <cmath>  // 使log函数
/*
 cmath使用方法介绍：
 log():以e为底的对数，exp(5) = e^5    log(exp((5)) = 5
 log10():以10为底的对数
 log2():以2位底的对数
 任何一个对数logm(n) = log(n)/log(,)
 */
using namespace std;

const int maxn = 105;
int n, a[maxn], F[maxn][maxn];  // F(i,j)表示区间[i, i+2^j-1]的最值，区间长度为2^j

void ST_create(){
    for(int i=1; i<=n; i++) // 初始化
        F[i][0] = a[i];  //n-1
        int k=log2(n);  // log(n)/log(2)   两种版本的问题
    for(int j=1; j<=k; j++){
        for(int i=1; i<=n-(1<<j)+1; i++){  // n-2^j+1：n-3、n-5、n-7
            F[i][j] = max(F[i][j-1], F[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}

int ST_query(int l, int r){  // 求区间[l,r]的最值
    int k=log(r-l+1);
    return max(F[l][k], F[r-(1<<k)+1][k]);
    // 取两个区间最值    F[l][k]：l往后数k个    F[r-(1<<k)+1][k]：r往前数k个
}

void ST_print(){
    // 按列填写的表
    int k=log2(n);
    for(int j=0; j<=k; j++){
        for(int i=0; i<=n-(1<<j)+1; i++){  // n-2^j+1 打印第一列
            cout << F[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
}

int main(){
    // 10 5 3 7 2 12 1 6 4 8 15
    int l, r;
    int i, v;
    cin >> n;
    for(i=1; i<=n; i++)
        cin >> a[i];
    ST_create();
    ST_print();
    cout << "输入查询最值的区间l r:" << endl;
    cin >> l >> r;
    cout << ST_query(l, r) << endl;
    return 0;
}

 

 

POJ3264

http://poj.org/problem?id=3264

6 3
1
7
3
4
2
5
1 5
4 6
2 2

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 50000+10;

int h[maxn];
int Fmax[maxn][20];
int Fmin[maxn][20];
int N, Q;

void ST_create(){
    for(int i=1; i<=N; i++){
        Fmax[i][0] = Fmin[i][0] = h[i];
    }
    int k = log2(N);
    for(int j=1; j<=k; j++){
        for(int i=1; i<=N-(1<<j)+1; i++){
            Fmax[i][j] = max(Fmax[i][j-1], Fmax[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            Fmin[i][j] = min(Fmin[i][j-1], Fmin[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}

int ST_query(int l, int r){
    int k = log2(r-l+1);
    return max(Fmax[l][k], Fmax[r-(1<<k)+1][k]) - min(Fmin[l][k], Fmin[r-(1<<k)+1][k]);
    
}

int main(){
    // freopen("test.txt", "r", stdin);
//    cin >> N >> Q;
//    for(int i=1; i<=N; i++){
//        cin >> h[i];
//    }
//    ST_create();
//    int l, r;
//    for(int i=1; i<=Q; i++){
//        cin >> l >> r;
//        cout << ST_query(l, r) << endl;
//    }
    int l, r;
    while(~scanf("%d%d", &N, &Q)){
        for(int i=1; i<=N; i++)
            scanf("%d", &h[i]);
        ST_create();
        for(int i=1; i<=Q; i++){
            scanf("%d%d", &l, &r);
            printf("%d\n", ST_query(l, r));
        }
    }
    return 0;
}

 

注意题目中测试用例可能会有多个