线性代数矩阵相关知识回顾
线性代数矩阵相关知识回顾
一、矩阵定义
由
称为一个
若
二、矩阵基本运算
1、相等
矩阵同型,且元素对应相等。
2、加法
两个矩阵同型的时候,可以相加
其中,
3、数乘
4、线性运算
加法运算和数乘运算统称矩阵的线性运算。
5、运算律
交换律
结合律
分配律
数和矩阵相乘的结合律
行列式相关性质
三、矩阵其他变换
1、矩阵的乘法
运算律
(1)结合律
(2)分配律
(3)数乘和乘法的结合律
注意
2、转置矩阵
将矩阵行列互换,
-
; -
; -
; -
; -
时,
3、向量的内积和正交
(1)内积
对 向量
称为内积(是一个数),记为 (
(2)正交
当
(3)模
称为向量
模为 1 时,称为 单位向量 。
(4) 标准正交向量组
列向量组
则称其为标准或单位正交向量组。
(5) 施密特标准正交化
有线性无关向量组
- 标准正交化:
即为正交向量组。
- 再单位化:
即为标准正交向量组。
4、方阵
(1)方阵的幂
特别的例子:
(2)方阵的乘积
(3)特殊的方阵
零矩阵:各元素均为
单位矩阵:主对角元素均为
数量矩阵:数
对角矩阵:非主对角元素均为
上(下)三角矩阵:当
对称矩阵:满足
正交矩阵:满足
5、分块矩阵
横纵线将矩阵分为若干小块,每个小块都看作一个元素。
注意:
四、矩阵的逆
1、性质
-
-
若
,则 -
同阶可逆,则 (穿脱原则) -
可逆 可逆。 -
2、求取逆矩阵
(1) 拆解
(2)
(3) 特殊形式的矩阵:
五、伴随矩阵
1、余子式
在
2、代数余子式
行列式的值 等于 任一行(列)的各元素与其对用的代数余子式乘积之和。
或
3、伴随矩阵
行列式
4、性质
1 任意
2 任意
3
六、初等矩阵
1、初等行(列)变换
1.倍乘 一个非零常数 乘 矩阵的某行(列)
2.互换 互换矩阵中的某两行(列)的位置
3.倍加 某行(列)的
2、初等矩阵
各教材表示方法有异
1.
2.
3.
初等变换求取逆矩阵
七、矩阵的秩与等价矩阵
1、秩
性质
1. 若
2. 初等变换不改变秩 :
3.
4.
5.
6.
7. 方阵:
2、等价矩阵
若
等价标准型
若
等价标准型是唯一的,必存在可逆矩阵
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