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线性代数矩阵相关知识回顾

线性代数矩阵相关知识回顾

一、矩阵定义

m×n 个数 aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) 排成的 mn列 的矩形表格。

[a11a12a1na21a22a2nam1am2amn]

称为一个 m×n 矩阵,记为 A(aij)m×n (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)。

m=n,称 An方阵


二、矩阵基本运算

1、相等

 矩阵同型,且元素对应相等

2、加法

 两个矩阵同型的时候,可以相加 A+B=C
 其中,cij=aij+bij

3、数乘

k是一个数,A是一个m×n的矩阵。

kA=Ak=k[a11a12a1na21a22a2nam1am2amn]=[ka11ka12ka1nka21ka22ka2nkam1kam2kamn]=(kaij)m×n

4、线性运算

 加法运算和数乘运算统称矩阵的线性运算

5、运算律

交换律

A+B=B+A (同型矩阵)

结合律

(A+B)+C=A+(B+C) (同型矩阵)

分配律

k(A+B)=kA+kB ;

(k+j)A=kA+jA (同型矩阵,k为任意常数)

数和矩阵相乘的结合律

k(lA)=(kl)A=l(kA)(kl为任意常数)

行列式相关性质

|kA| =kn|A| (n2,k0,1)


三、矩阵其他变换

1、矩阵的乘法

Am×s 矩阵, Bs×n 矩阵( A 的列数等于 B 的行数),AB 可乘,乘积 ABm×n 的矩阵。

C=AB,

cij=k=1saikbkj=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j+...+aisbsj   (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)。

运算律

 (1)结合律

(Am×sBs×r)Cr×n=Am×s(Bs×rCr×n)

 (2)分配律

(Am×s+Bm×s)Cs×n=Am×sCs×n+Bm×sCs×n

 (3)数乘和乘法的结合律

(kAm×s)Bs×n=Am×s(kBs×n)=k(Am×sBs×n)

注意

  • ABBA
  • AB=OA=OB=O
  • AB=AC,AOB=C

2、转置矩阵

将矩阵行列互换,m×n 转换成 n×m,为 AT

  • (AT)T=A;

  • (A+B)T=AT+BT;

  • (kA)T=kAT;

  • (AB)T=BTAT;

  • m=n 时,|AT| = |A|

3、向量的内积和正交

(1)内积

对 向量 α = [a1,a2,,an]T , 向量 β = [b1,b2,,bn]T

αT β = i=1naibi = a1b1+a2b2+...+anbn

   称为内积(是一个数),记为 ( α , β)

(2)正交

αT β =0 时,向量 αβ 是正交向量。

(3)模

α = i=1nai2

   称为向量 α 的模(长度)。

   模为 1 时,称为 单位向量

(4) 标准正交向量组

列向量组 α1 ,α2,...,αn 满足

αiTαj = {0,ij1,i=j

  则称其为标准或单位正交向量组

(5) 施密特标准正交化

有线性无关向量组 α1 ,α2

  • 标准正交化:

β1 = α1

β2 = α2(α2,β1)(β1,β1)β1

  即为正交向量组

  • 再单位化:

η1 = β1β1

η2 = β2β2

  即为标准正交向量组

4、方阵

(1)方阵的幂

A 是一个 n方阵Am=AA...A(mA) 称为 Am 次幂。

特别的例子:

(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2

(AB)m=(AB)(AB)...(AB)(mAB)AmBm

f(x)=a0+a1x+...+anxnf(A)=a0E+a1A+...+anAn

(2)方阵的乘积

AB是同阶方阵 |AB|=|A||B|

(3)特殊的方阵

  零矩阵:各元素均为 0 ,记为O

  单位矩阵:主对角元素均为 1 ,其余元素均为 0n 阶方阵,称为 n 阶单位矩阵,记为 EI

  数量矩阵:数 k 和单位矩阵的乘积所得矩阵。

  对角矩阵:非主对角元素均为 0 的矩阵。

  上(下)三角矩阵:当i>(<)j时,aij=0的矩阵称为上(下)三角矩阵。

  对称矩阵:满足AT=A的矩阵,aij=aji

  正交矩阵:满足ATA=EAT=A1A的行(列)向量组是标准正交向量组。

5、分块矩阵

横纵线将矩阵分为若干小块,每个小块都看作一个元素。

A = [a11a12a1na21a22a2nam1am2amn] = [A1A2Am] , Ai为一个子块。

注意AB分别为m、n阶方阵,则

[AOOB]n = [AnOOBn]


四、矩阵的逆

AB 均为 n 阶方阵,En 阶单位矩阵,若 AB=BA=EA 是可逆矩阵,而A 的逆矩阵是 B,且逆矩阵唯一,记为 A1

A可逆 |A|0

A1=1|A|A

1、性质

  • (A1)1=A

  • k0,则(kA)1=1kA1

  • AB同阶可逆,则(AB)1=B1A1 (穿脱原则)

  • A可逆 AT可逆。(AT)1=(A1)T

  • |A1| = |A|1

2、求取逆矩阵

(1) 拆解AA1=(BC)1=C1B1

(2) A1=1|A|A

(3) 特殊形式的矩阵:

   [AOOB]1=[A1OOB1]

   [OABO]1=[OB1A1O]


五、伴随矩阵

1、余子式

 在n阶行列式中,把 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去,留下来的 n1 阶行列式,叫做 aij 的余子式,记作 Mij

2、代数余子式

Aij=(1)i+jMij

行列式的值 等于 任一行(列)的各元素与其对用的代数余子式乘积之和。

|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin (i=1,2,...,n)

   或
|A|=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj (j=1,2,...,n)

3、伴随矩阵

行列式|A|的各个元素的代数余子式转置排列后,所得矩阵称为n阶方阵A的伴随矩阵,记为A

A=[A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn]

4、性质

1 任意n阶方阵

  • AA=AA=|A|E

  • |A|=|A|n1

2 任意n阶方阵, |A|0
(kA)=kn1A

3

  • (AT)=(A)T

  • (A1)=(A)1

  • (AB)=BA

  • (A)=|A|n2A


六、初等矩阵

1、初等行(列)变换

1.倍乘  一个非零常数 乘 矩阵的某行(列)
2.互换  互换矩阵中的某两行(列)的位置
3.倍加  某行(列)的k倍加到另一行(列)

2、初等矩阵

各教材表示方法有异

1.Ei(k)(k0) :单位矩阵第i行(列)乘k

2.Eij :单位矩阵交换第ij行(列)。

3.Eij(k):单位矩阵第i行(列)乘k倍,加到第j行(列)上。

初等变换求取逆矩阵

[ A  E ] 进行初等行变换 [ E  A1 ]

[AE] 进行初等列变换 [EA1]


七、矩阵的秩与等价矩阵

1、秩

Am×n矩阵,若存在 k 阶子式不为 0 ,而任意 k+1阶子式全为 0 ,则r(A)=k

性质

1.An阶方阵,则有:  r(A)=n |A|0 A可逆

2. 初等变换不改变秩PQ可逆,则r(Am×n)=r(Pm×mA)=r(AQn×n)=r(PAQ)

3. 0r(Am×n)min(m,n)

4. r(kA)=r(A)(k0)

5. r(AB)min(r(A),r(B))

6. r(A+B)r(A)+r(B)

7. 方阵:r(A)={n,r(A)=n       1,r(A)=n10,r(A)n1

2、等价矩阵

 若 AB 均为 m×n 矩阵,若存在可逆矩阵 Pm×mQn×n ,使得 PAQ=B ,则称 A,B 是等价矩阵,记作 AB

等价标准型

 若 Am×n 矩阵,且等价于 [ErOOO] ,其中 r 等于 r(A) 。那么, [ErOOO] 称为 A 的等价标准型。

 等价标准型是唯一的,必存在可逆矩阵 PQ ,使得 PAQ= [ErOOO]

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