AGC041F Histogram Rooks
考察一个合法的棋盘，有一些列上有车，其他的列没有车。
有车的列所有格子都被覆盖，没有车的列上的每个格子都需要被同一行的车覆盖。
即考察所有极长的行连续段，如果这个连续段涉及的列里包含没有车的列，那么这个行连续段里必须有车。
考虑枚举有车的列的集合 \(S\)，对于每个行连续段，记它涉及的列集合与 \(S\) 的交集大小为 \(c\)，如果它包含没有车的列则方案数为 \(2^c - 1\)，否则方案数为 \(2^c\)。
容易发现这么计数不能保证 \(S\) 里的列都有车，再枚举 \(T \subseteq S\) 表示钦定 \(T\) 里的列没有车，容斥系数为 \((-1)^T\)，把上一段里与 \(S\) 的交集改为与 \(S - T\) 的交集即可。
一个自然的分治过程是找到当前最低的列 \(i\) 然后把最底下的 \(h_i\) 行删掉，这样棋盘就被分成了不相关的两个部分。根据这个分治过程进行 dp 相当于建出笛卡尔树然后自底向上进行 dp。
设 \(dp_{u, i, 0/1}\) 表示考察 \(u\) 的子树，共有 \(i\) 个列属于 \(S - T\)，是否有不属于 \(S\)（即没有车）的列。
合并两个儿子是树形背包，然后枚举当前的最低列属于三个部分的哪一个进行转移，再对每个在分治过程中删掉的行连续段乘上 \(2^c\) 或 \(2^c - 1\) 的系数即可。
注意乘上系数的快速幂复杂度可以摊到每个格子上，因此时间复杂度 \(O(n^2)\)。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
using ull = unsigned long long;
using ld = long double;
using i128 = __int128;
using u128 = unsigned __int128;
template <typename T>
void chkmax(T &x, const T &y) {
if (x < y) x = y;
}
template <typename T>
void chkmin(T &x, const T &y) {
if (y < x) x = y;
}
constexpr int MOD = 998244353;
void inc(int &x, int y) {
x += y;
if (x >= MOD) x -= MOD;
}
int add(int x, int y) {
x += y;
return x >= MOD ? x - MOD : x;
}
int neg(int x) { return x ? MOD - x : 0; }
void upd(int &x, ll y) { x = (x + y) % MOD; }
int qpow(int x, int y) {
int ret = 1;
for (; y; y >>= 1, x = (ll)x * x % MOD)
if (y & 1) ret = (ll)ret * x % MOD;
return ret;
}
constexpr int MAXN = 405;
int n, h[MAXN], stk[MAXN], tp, ls[MAXN], rs[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN][2], pw2[MAXN];
void dfs(int u, int pre, int l, int r) {
if (!u) return;
dfs(ls[u], u, l, u - 1);
dfs(rs[u], u, u + 1, r);
for (int i = 0; i <= u - l; ++i) {
for (int x = 0; x < 2; ++x) {
if (!dp[ls[u]][i][x]) continue;
for (int j = 0; j <= r - u; ++j) {
for (int y = 0; y < 2; ++y) {
if (!dp[rs[u]][j][y]) continue;
upd(dp[u][i + j][x || y], (ll)dp[ls[u]][i][x] * dp[rs[u]][j][y]);
}
}
}
}
for (int i = r - l; i >= 0; --i) {
inc(dp[u][i + 1][0], dp[u][i][0]);
inc(dp[u][i + 1][1], dp[u][i][1]);
dp[u][i][1] = dp[u][i][0];
dp[u][i][0] = neg(dp[u][i][0]);
}
for (int i = 0; i <= r - l + 1; ++i) {
dp[u][i][0] = (ll)dp[u][i][0] * qpow(pw2[i], h[u] - h[pre]) % MOD;
dp[u][i][1] = (ll)dp[u][i][1] * qpow(pw2[i] - 1, h[u] - h[pre]) % MOD;
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> h[i];
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
while (tp && h[i] < h[stk[tp]]) ls[i] = stk[tp--];
if (tp) rs[stk[tp]] = i;
stk[++tp] = i;
}
for (int i = 1; i < tp; ++i) rs[stk[i]] = stk[i + 1];
pw2[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) pw2[i] = add(pw2[i - 1], pw2[i - 1]);
dp[0][0][0] = 1;
dfs(stk[1], 0, 1, n);
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= n; ++i)
for (int j = 0; j < 2; ++j) inc(ans, dp[stk[1]][i][j]);
cout << ans << "\n";
return 0;
}
/*
g++ F.cpp -o F -std=c++14 -O2 -Wall -Wextra -Wshadow -g
-fsanitize=address,undefined
*/
