Border 理论随记

下文若不特别说明下标从 $1$ 开始。

一. 定义

对于字符串 $S$，若有 $0 \le p < |S|$，$S[1 .. p] = S[|S| - p + 1 .. |S|]$，则称 $S[1 .. p]$ 为 $S$ 的 border。

对于字符串 $S$，若有 $0 < p \le |S|$，$\forall 1 \le i \le |S| - p$，$S[i] = S[i + p]$，则称 $p$ 为 $S$ 的周期。

对于字符串 $S$，若周期 $p$ 满足 $p \mid |S|$，则称周期 $p$ 为 $S$ 的整周期。

对于字符串 $S, T$，若存在 $1 \le p \le |T| - |S| + 1$，满足 $T[p .. p + |S| - 1] = S$，则称 $p$ 为 $S$ 在 $T$ 中的一个匹配位置。

二. 基本定理

1. 对于字符串 $S$，若 $T$ 为其 border，则 $|S| - |T|$ 为其周期。

2. 对于字符串 $S$，若 $p$ 为其周期，则 $S[1 .. |S| - p]$ 为其 border。

3. 对于字符串 $S$，若有 border $S[1 .. p],S[1 .. q]$ 满足 $p < q$，则 $S[1 .. p]$ 为 $S[1 .. q]$ 的 border。

4. 对于字符串 $S$，若其 border $S[1 .. q]$ 有 border $S[1 .. p]$，则 $S[1 .. p]$ 为 $S$ 的 border。

5. 对于字符串 $S$，对于其周期 $p$，若有 $k$ 满足 $kp \le |S|$，则 $kp$ 为 $S$ 的周期。

6. 对于字符串 $S$，若其有周期 $p,q$，且 $p + q - \gcd(p, q) \le |S|$，则 $\gcd(p, q)$ 也为 $S$ 的周期。（Periodicity Lemma, PL）

证明：考虑 $S$ 中模 $p$ 意义下相等的位置字符必定相等。考虑模 $p$ 意义下的所有剩余类，周期 $q$ 本质上是对于所有 $i$，在 $i$ 与 $i + q$ 所在的剩余类间连边，表示这两个剩余类的中每个位置的字符相等。容易发现若 $|S| \ge p + q$，最终会连出 $\gcd(p, q)$ 个长为 $\frac{p}{\gcd(p, q)}$ 的环，每个环表示模 $\gcd(p, q)$ 下的一个剩余类，即说明 $S$ 有 $\gcd(p, q)$ 的周期。发现环去掉一条边不影响连通性，即最后的 $\gcd(p, q)$ 条边并不影响结论，所以当 $|S| \ge p + q - \gcd(p, q)$ 时，$S$ 有长为 $\gcd(p, q)$ 的周期。

三. Border 的等差数列性质

1. 对于字符串 $S$，所有满足 $p \le \frac{|S|}{2}$ 的周期 $p$ 构成等差数列。

证明：找出满足条件的 $p$ 中最小的周期 $q$，试证明所有 $p$ 都为 $q$ 的倍数。考虑反证法，若有周期 $x$ 满足 $x \le \frac{|S|}{2}$ 且 $x$ 不为 $q$ 的倍数，则根据 PL 有更小的周期 $\gcd(q, x)$，矛盾。所以所有 $p$ 构成首项为 $q$，公差为 $q$ 的等差数列。

2. 对于字符串 $S$，所有 border 构成 $O(\log |S|)$ 段等差数列。

证明：由 3.1，所有长度大于等于 $\frac{|S|}{2}$ 的 border 构成一段等差数列。然后继续考察第一个长度小于 $\frac{|S|}{2}$ 的 border，由 2.3，可以将其看作原串继续递归构造。此构造方法每次使字符串长度至少减半，所以共有 $O(\log |S|)$ 段等差数列。、

四. 整周期

1. 对于字符串 $S$，所有整周期都是最小整周期的倍数。

证明：考虑反证法。若存在一个整周期 $q$ 非最小整周期 $p$ 的倍数，易知 $p,q$ 均不为 $|S|$，所以 $p, q \le \frac{|S|}{2}$。因为 PL，必有更小的整周期 $\gcd(p, q)$，矛盾。

2. 对于字符串 $S$，若其最小整周期不为 $|S|$，则最小整周期为最小周期。

证明：考虑反证法。易知最小整周期 $p \le \frac{|S|}{2}$。若存在周期 $q < p$，则根据 PL 可知 $\gcd(p, q)$ 为一更小的整周期，矛盾。

五. 回文 border

1. 对于回文串 $S$，其回文真前缀与回文真后缀均为其 border。

2. 对于回文串 $S$，其 border 均为回文串。

六、例题

1. [WC2016] 论战捆竹竿

2. [HNOI2019] JOJO

3. [POI2003] Tiles

4. [POI2005] SZA-Template

5. [POI2006] PAL-Palindromes

6. [POI2011] OKR-Periodicity

7. [POI2012] PRE-Prefixuffix

8. [POI2012] OKR-A Horrible Poem