Border 理论随记
下文若不特别说明下标从 \(1\) 开始。
一. 定义
对于字符串 \(S\)，若有 \(0 \le p < |S|\)，\(S[1 .. p] = S[|S| - p + 1 .. |S|]\)，则称 \(S[1 .. p]\) 为 \(S\) 的 border。
对于字符串 \(S\)，若有 \(0 < p \le |S|\)，\(\forall 1 \le i \le |S| - p\)，\(S[i] = S[i + p]\)，则称 \(p\) 为 \(S\) 的周期。
对于字符串 \(S\)，若周期 \(p\) 满足 \(p \mid |S|\)，则称周期 \(p\) 为 \(S\) 的整周期。
对于字符串 \(S, T\)，若存在 \(1 \le p \le |T| - |S| + 1\)，满足 \(T[p .. p + |S| - 1] = S\)，则称 \(p\) 为 \(S\) 在 \(T\) 中的一个匹配位置。
二. 基本定理
1. 对于字符串 \(S\)，若 \(T\) 为其 border，则 \(|S| - |T|\) 为其周期。
2. 对于字符串 \(S\)，若 \(p\) 为其周期，则 \(S[1 .. |S| - p]\) 为其 border。
3. 对于字符串 \(S\)，若有 border \(S[1 .. p],S[1 .. q]\) 满足 \(p < q\)，则 \(S[1 .. p]\) 为 \(S[1 .. q]\) 的 border。
4. 对于字符串 \(S\)，若其 border \(S[1 .. q]\) 有 border \(S[1 .. p]\)，则 \(S[1 .. p]\) 为 \(S\) 的 border。
5. 对于字符串 \(S\)，对于其周期 \(p\)，若有 \(k\) 满足 \(kp \le |S|\)，则 \(kp\) 为 \(S\) 的周期。
6. 对于字符串 \(S\)，若其有周期 \(p,q\)，且 \(p + q - \gcd(p, q) \le |S|\)，则 \(\gcd(p, q)\) 也为 \(S\) 的周期。（Periodicity Lemma, PL）
证明：考虑 \(S\) 中模 \(p\) 意义下相等的位置字符必定相等。考虑模 \(p\) 意义下的所有剩余类，周期 \(q\) 本质上是对于所有 \(i\)，在 \(i\) 与 \(i + q\) 所在的剩余类间连边，表示这两个剩余类的中每个位置的字符相等。容易发现若 \(|S| \ge p + q\)，最终会连出 \(\gcd(p, q)\) 个长为 \(\frac{p}{\gcd(p, q)}\) 的环，每个环表示模 \(\gcd(p, q)\) 下的一个剩余类，即说明 \(S\) 有 \(\gcd(p, q)\) 的周期。发现环去掉一条边不影响连通性，即最后的 \(\gcd(p, q)\) 条边并不影响结论，所以当 \(|S| \ge p + q - \gcd(p, q)\) 时，\(S\) 有长为 \(\gcd(p, q)\) 的周期。
三. Border 的等差数列性质
1. 对于字符串 \(S\)，所有满足 \(p \le \frac{|S|}{2}\) 的周期 \(p\) 构成等差数列。
证明：找出满足条件的 \(p\) 中最小的周期 \(q\)，试证明所有 \(p\) 都为 \(q\) 的倍数。考虑反证法，若有周期 \(x\) 满足 \(x \le \frac{|S|}{2}\) 且 \(x\) 不为 \(q\) 的倍数，则根据 PL 有更小的周期 \(\gcd(q, x)\)，矛盾。所以所有 \(p\) 构成首项为 \(q\)，公差为 \(q\) 的等差数列。
2. 对于字符串 \(S\)，所有 border 构成 \(O(\log |S|)\) 段等差数列。
证明：由 3.1，所有长度大于等于 \(\frac{|S|}{2}\) 的 border 构成一段等差数列。然后继续考察第一个长度小于 \(\frac{|S|}{2}\) 的 border，由 2.3，可以将其看作原串继续递归构造。此构造方法每次使字符串长度至少减半，所以共有 \(O(\log |S|)\) 段等差数列。、
四. 整周期
1. 对于字符串 \(S\)，所有整周期都是最小整周期的倍数。
证明：考虑反证法。若存在一个整周期 \(q\) 非最小整周期 \(p\) 的倍数，易知 \(p,q\) 均不为 \(|S|\)，所以 \(p, q \le \frac{|S|}{2}\)。因为 PL，必有更小的整周期 \(\gcd(p, q)\)，矛盾。
2. 对于字符串 \(S\)，若其最小整周期不为 \(|S|\)，则最小整周期为最小周期。
证明：考虑反证法。易知最小整周期 \(p \le \frac{|S|}{2}\)。若存在周期 \(q < p\)，则根据 PL 可知 \(\gcd(p, q)\) 为一更小的整周期，矛盾。
