线性筛素数

在洛谷上找到的一篇非常详细的题解

想要快速地筛出一定上限内的素数？

下面这种方法可以保证范围内的每个合数都被删掉（在 bool 数组里面标记为非素数），而且任一合数只被：

“最小质因数 × 最大因数（非自己） = 这个合数”

的途径删掉。由于每个数只被筛一次，时间复杂度为

欧拉筛

先浏览如何实现再讲其中的原理。

实现

bool isPrime[1000001];
//isPrime[i] == 1表示：i是素数
int Prime[1000001], cnt = 0;
//Prime存质数

void GetPrime(int n)//筛到n
{
    memset(isPrime, 1, sizeof(isPrime));
    //以“全都是素数”为初始状态，逐个删去
    isPrime[1] = 0;//1不是素数

    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(isPrime[i])//没筛掉 
            Prime[++cnt] = i; //i成为下一个素数

        for(int j = 1; j <= cnt && i*Prime[j] <= n/*不超上限*/; j++) 
        {
            //从Prime[1]，即最小质数2开始，逐个枚举已知的质数，并期望Prime[j]是(i*Prime[j])的最小质因数
            //当然，i肯定比Prime[j]大，因为Prime[j]是在i之前得出的
            isPrime[ i*Prime[j] ] = 0;

            if(i % Prime[j] == 0)//i中也含有Prime[j]这个因子
                break; //重要，见原理
        }
    }
}

原理概述

(1)一个数的最小因数（非1）当然是一个质数。毕竟如果是合数的话可以再分。

(2)代码中

(3)代码中的

            if(i % Prime[j] == 0)
                break;

（如果你立即理解了上面这三点，并且发现任何合数在整个流程中一定被最小质因数筛掉（“那个”

可以具体说成是：

①：如果 $\mod Prime[j] == 0imodPrime[j]==0，说明 iii 有 Prime[j]Prime[j]Prime[j] 这个因子。那么 iii 可以表示为 Prime[j]×kPrime[j] × kPrime[j]×k。$

②：如果我们再往下，下一个被筛掉的合数将是

③：根据①，该合数可以表示为

④：看，

⑤：后面

注意， $\mod Prime[j] == 0imodPrime[j]==0 并不影响 Prime[j]Prime[j]Prime[j] 是 i×Prime[j]i×Prime[j]i×Prime[j] 这个数的最小质因数。$

小提示：

当

建议看下面两个并不烦的证明，便于信任这个筛法和以后扩展学习。

正确性（所有合数都会被标记）证明

设一合数 $p1p_1p1，设 B=C/p1B = C / p_1B=C/p1（C=B×p1C = B × p_1C=B×p1），则 BBB 的最小质因数不小于 p1p_1p1（否则 CCC 也有这个更小因子）。那么当枚举到 i=Bi = Bi=B 时，我们会从小到大枚举各个质数，因为 i=Bi = Bi=B 的最小质因数不小于 p1p_1p1，所以 iii 在质数枚举至 p1p_1p1 之前都不会break，因而就这次而言 CCC 一定会被 B×piB × p_iB×pi 删去。$

核心：亲爱的 $p1p_1p1。$

例：

当然质数不能表示成“大于1的某数×质数”，所以整个流程中不会标记。

线性复杂度证明

注意这个算法一直使用“某数×质数”去筛合数，又已经证明一个合数一定会被它的最小质因数 $p1p_1p1 筛掉，所以我们唯一要担心的就是同一个合数是否会被“另外某数 × p1p_1p1 以外的质数”再筛一次导致浪费时间。设要筛的合数是 CCC，设这么一个作孽的质数为 pxp_xpx，再设 A=C/pxA = C / p_xA=C/px，则 AAA 中有 p1p_1p1 这个因子。当 i=Ai = Ai=A 想要重筛 CCC，却在枚举 Prime[j]=p1Prime[j] = p_1Prime[j]=p1 时因为 imodPrime[j]==0i \mod Prime[j] == 0imodPrime[j]==0 就退出了。因而 CCC 的任何 p1p_1p1 外的质因数都不能筛它。$

核心：罪恶的 $p1p_1p1 这个因子。$

例：

            isPrime[ i*Prime[j] ] = 0;

所以，

以上两个一证，也就无可多说了。

这是我的代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
bool isPrime[10000001];
int Prime[10000001],c=0,n;
inline void p()
{
memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
    isPrime[1]=0;    
    for(register int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(isPrime[i])
            Prime[++c]=i;
        for(register int j=1;j<=c&&i*Prime[j]<=n;j++)
        {
            isPrime[i*Prime[j]]=0;
            if(i%Prime[j]==0)break;
        }
    }    
}
int main()
{
    int m,x;
    bool pd;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    p();
    while(m--)
    {
        pd=0;
        scanf("%d",&x);
        for(register int i=1;i<=n;i++)
        {
        if(Prime[i]==x)
        {
            pd=1;
            break;
        }
        }
        pd==1?printf("Yes\n"):printf("No\n");
    }
    return 0;
}

你以为就AC了吗，天真！！！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
bool isPrime[10000001];
int Prime[10000001],c=0,n;
inline void p()
{
    memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
    isPrime[1]=0;    
    for(register int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(isPrime[i])
            Prime[++c]=i;
        for(register int j=1;j<=c&&i*Prime[j]<=n;j++)
        {
            isPrime[i*Prime[j]]=0;
            if(i%Prime[j]==0)break;
        }
    }
}
int main()
{
    int m,x;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    p();
    while(m--)
    {
        scanf("%d",&x);
        isPrime[x]==1?printf("Yes\n"):printf("No\n");
    }
    return 0;
}

具体差别自己看

posted @ 2018-11-07 21:18 JCRL 阅读(294) 评论(0) 编辑收藏举报

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