【题解】P2573 [SCOI2012]滑雪（最小生成树）

发现了一道比较有思维的题，考虑记一下。

Desciption

给出 \(n\) 个点，每个点有一个高度，同时给出 \(m\) 条滑道。连接两个点，可以从高度高的点到高度低的点，滑道距离会给出。

求出能到达的所有点的最小滑道距离和。

Solution

我们考虑一下，对于滑道我们可以建边，但是要注意。只能从高向低连边，同时相同高度的点之间得连双向边。

讲道理，我们发现这题说什么到所有可以到达的点的什么距离和，一看就是最小生成树。

那么我们考虑对于这么一张图我们先bfs出所有可以到达的点，然后再对他进行最小生成树。

但是有可能有些边是单向的我们怎么办？

其实有一个很神奇的想法，我们可以按照高度为第一关键字排个序，然后发现在高度低的之前，高度高的一定已经考虑过了，那么一定可以到达那些低的点。

具体怎么理解呢？

我们考虑这样建模，高度相同的点放在同一层，然后每次在一层做完最小生成树，通过连向下一层的边把答案继承到下一层。

具体实现的话可以通过对边连出的点的高度排序。

代码来了~~

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

int En;
typedef pair<int,int> PII;
const int N=1e5+5,M=1e6+5;
int head[N],height[N],fa[N],vis[N];
queue <int> q;
vector <PII> G[N];
struct edge {
    int x,y,w;
    bool operator < (const edge &nt) const {
        if(height[y]!=height[nt.y]) return height[y]>height[nt.y];
        return w<nt.w;
    }
}E[M<<1];

inline int getf(int x){
    if(fa[x]==x) return x;
    else return fa[x]=getf(fa[x]);
}

inline int bfs(int s){
    int num=0;
    q.push(s);
    vis[s]=true;
    while(q.size()){
        int u=q.front(); q.pop();
        for(int i=0;i<(int)G[u].size();++i){
            int v=G[u][i].first;
			E[++En]=(edge){u,v,G[u][i].second};
            if(vis[v]) continue;
            vis[v]=true;
            num++;
            q.push(v);
        }
    }
    return num;
}

signed main(){
    int n=0,m=0;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i) 
        scanf("%lld",&height[i]);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int u=0,v=0,w=0;
        scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
        if(height[u]>height[v])
            G[u].push_back(make_pair(v,w));
        if(height[u]<height[v])
        	G[v].push_back(make_pair(u,w));
        if(height[u]==height[v]){
        	G[u].push_back(make_pair(v,w));
        	G[v].push_back(make_pair(u,w));
		}
    }
    int cnt=bfs(1);
    printf("%lld ",cnt+1);
    sort(E+1,E+En+1);
    int ans=0,num=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=En;++i){
        int fx=getf(E[i].x),fy=getf(E[i].y);
        if(fx!=fy){
            fa[fx]=fy;
            ans+=E[i].w;
        	num++;
		}
		if(num==cnt) break;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}