【题解】 CF338D GCD Table

\(Description:\)

给出一个长度为k的数列a，给出n,m，有一个矩阵满足\(gcd(i,j)\)为第i行j列的元素。

问这个矩阵中是否有满足\(gcd(x,y+i-1)=a_i\)的x,y。

\(Sample\) \(Input\) \(1\):

100 100 5
5 2 1 2 1

\(Sample\) \(Output\) \(1\):

YES

\(Sample\) \(Input\) \(2\):

100 8 5
5 2 1 2 1

\(Sample\) \(Output\) \(2\):

NO

\(Solution:\)

听说这是一道把XLH搞自闭的题，震惊(ΩДΩ)！！！。

乍眼看除了暴力毫无思路，好好思考之后发现，好像x是所有\(a_i\)的最小公倍数

那么直接判断x可以得到40分的好成绩，考虑正解

\(y+i-1\)是\(a_i\)的整数倍，那么好像可以用同余式写出来：

\(y+i-1 \equiv 0 \pmod {a_i}\)

\(y\equiv 1-i \pmod {a_i}\)

那么就列出了一堆式子，那么就可以直接用excrt 求解

求出来再吧x,y带回去验证

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
using namespace std;
int n,m,X,Y,k;
namespace subtask2{
    const int N=1e5;
    int a[N+5],b[N+5],t[N+5];
    inline int gcd(int a,int b){
    	int tmp=0;
    	while(b!=0){
    		tmp=a%b;
    		a=b;
    		b=tmp;
        }
        return a;
    }
    inline int mul(int a,int b,int p){
    	int ret=0;
    	while(b>0){
    		if(b&1) ret=(ret+a)%p;;
    		a=(a+a)%p;
    		b>>=1;
        }
        return ret;
    }
    inline int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
        if(b==0) { x=1;y=0;return a;}
        int tmp=Exgcd(b,a%b,x,y);
        int z=x;x=y;y=z-a/b*y;
        return tmp;
    }
    inline int excrt(){
        int M=b[1],ans=a[1],x=0,y=0;
        for(int i=2;i<=k;++i){
            int oo=((a[i]-ans)%b[i]+b[i])%b[i];
            int p=Exgcd(M,b[i],x,y);
            if(oo%p!=0) return -1;
            x=mul(x,oo/p,b[i]/p);
            ans+=x*M;
            M=M/p*b[i];
            ans=(ans%M+M)%M;
        }
        ans=(ans%M+M)%M;
        X=M;
        if(!ans) return M;
        return ans;
    }
    void solve2(){
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
        for(int i=1;i<=k;++i) scanf("%lld",&t[i]);
        for(int i=1;i<=k;++i) b[i]=t[i],a[i]=((1-i)%b[i]+b[i])%b[i];
        Y=excrt();
        if(Y==-1) { puts("NO");return;}
        if(Y+k-1>m || X>n) { puts("NO");return;}
        for(int i=1;i<=k;++i)
            if(gcd(X,Y+i-1)!=t[i]) { puts("NO");return;}
        
        puts("YES");
    }
}
signed main(){
    subtask2::solve2();
    return 0;
}