一些组合数学

首先别犯一些脑残的定义错误：$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=C_n^m$

• 对称恒等式：$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-m})$

• 吸收恒等式：$m(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1})$

• 上指标求和：$\sum _{i=m}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{m})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{m+1})$

$\text{Catalan}$ 数列

$$H_n={\displaystyle \frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{n+1}}(n\ge 2,n\in {\mathbf{N}}_{\mathbf{+}})$$

$\text{Lucas}$ 定理

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})modp=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lfloor n/p\rfloor }{\lfloor m/p\rfloor })\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{nmodp}{mmodp})modp$$

第二类 $\text{Stirling Number}$

$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}$ 表示将 $n$ 个两两不同的元素，划分为 $k$ 个互不区分的非空子集的方案数。

递推式：

$$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right\}+k\left\{\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right\}$$

通项公式

$$\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}=\sum _{i=0}^m{\displaystyle \frac{(-1{)}^{m-i}{i}^n}{i!(m-i)!}}$$

范德蒙德卷积

$$\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k})$$

证明：

可以用二项式定理证明：

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{n+m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k})x^k& =(x+1{)}^{n+m}\\ & =(x+1{)}^n(x+1{)}^m\\ & =\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})x^r\sum _{s=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{s})x^s\\ & =\sum _{k=0}^{n+m}\sum _{r=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-r})x^k\end{array}$$

同时可以考虑他的组合意义：在一个大小为 $n+m$ 的集合中取出 $k$ 个数，等价于将 $n+m$ 的集合拆成大小分别为 $n$ 与 $m$ 的两个集合，然后从 $n$ 中取出 $i$ 个数，从 $m$ 中取出 $k-i$ 个数的方案数。

几个推论：

$$\sum _{i=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i-1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n-1})$$

$$\sum _{i=-r}^s(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r+i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{s-i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{r+s})$$

$$\sum _{i=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}^2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$$

$$\sum _{i=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{m})$$