2017校招真题在线编程-饥饿的小易

题目描述

小易总是感觉饥饿，所以作为章鱼的小易经常出去寻找贝壳吃。最开始小易在一个初始位置x_0。对于小易所处的当前位置x，他只能通过神秘的力量移动到 4 * x + 3或者8 * x + 7。因为使用神秘力量要耗费太多体力，所以它只能使用神秘力量最多100,000次。贝壳总生长在能被1,000,000,007整除的位置(比如：位置0，位置1,000,000,007，位置2,000,000,014等)。小易需要你帮忙计算最少需要使用多少次神秘力量就能吃到贝壳。

输入描述:

输入一个初始位置x_0,范围在1到1,000,000,006

输出描述:

输出小易最少需要使用神秘力量的次数，如果使用次数使用完还没找到贝壳，则输出-1

示例1

输入

125000000

输出

1


思路：这道题目需要用到一个确实成立的猜想：(ax+b)%c = a(x%c)+b  这样我们就能够只使用余数来对整个数的变化情况进行跟踪。
　　　通过一个队列queue来保存每一步变化可能出现的新的余数值，一个unordered_set来保存已经出现过的余数值。因为已经出现过的余数值再次出现就没有任何意义了，所以不用再次加入到变化队列里面。
　　　总的来说还是一个广度优先搜索的思路，不过剪枝得应该比较厉害，总体运行时间能够通过。

//运行时间122ms
#include<iostream>
#include<unordered_set>
#include<queue>

using namespace std;

int main(){
    long long init;
    cin>>init;
    queue<long long> q;
    unordered_set<long long> s;
    q.push(init);
    s.insert(init);
    int res = 0;
    long long temp ;
    while(!q.empty() && res <=100000){
        int size = q.size();
        for(int i = 0; i<size; ++i){
            temp = q.front();
            q.pop();
            if(temp == 0) {
                cout<<res;
                return 0;
            }
            int t = (temp*4 + 3)%1000000007;
            if(! s.count(t)) {
                q.push(t);
                s.insert(t);
            }
            t = (temp*8 + 7)%1000000007;
            if(! s.count(t)) {
                q.push(t);
                s.insert(t);
            }
        }
        ++res;
    }
    if(res == 100001 || q.empty()) cout<<-1;
    else cout<<res;
    return 0;
} 

从网上其他答案中找到一些比较巧妙的在这里贴一下，有些比较需要数学技巧：

 

观察变换形式，并做变形：

4x+3=4(x+1)-1

8x+7=8(x+1)-1

如果多层嵌套呢？

y=4x+3

8y+7=8((4(x+1)-1)+1)-1=8(4(x+1))-1=32(x+1)-1

如果你多枚举一些，就会发现，能变换出的数的形式都是：

a(x+1)-1，其中a是2的>=2的幂次数（4、8、16、32、64、……）

我们能否利用这个特点呢？

 

当然能！

考虑直接枚举那个a，从2^2一直到……等等，最大是2的多少次？

答：直接考虑最大情况，每次变换都选择8x+7那种，也就是，每次a乘上8，也就是说，最坏是(2^3)^100000=2^300000次

所以，枚举a，从2^2次，一直到2^300000次

然后，对每个a检查一下，乘起来结果%1e9+7是不是0，如果是0，说明100000次之内有解

——问：那最小要执行几次变换？

答：我们直接贪心，尽量让a乘8（乘2次8和乘3次4一样大，当然是乘8越多，变换次数越少）

——问：如果我发现a==2^5或a==2^4的时候满足要求，但是5和4才不能表示成3的倍数，怎么办？

答：别忘了你手上还有4x+3的变换（就是a乘4的变换）

对5这种情况，除以3余2，那刚好，用一次乘4的变换就行了

对4这种情况，除以3余1，我们考虑，消去一个乘8的变换，用2个乘4的变换代替并补足。

 

计算上，直接/3作为结果，如果有余数，就要结果再加1次

#include <ctype.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <map> 
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
 
const int mod=1e9+7;
 
int main(){
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        int times=4;
        int ans=100001;
        for(int i=1;i<=300000;++i){
            int x=((long long)(n)*times+times-1)%mod;
            if(x==0){
                ans=(i+1)/3+((i+1)%3?1:0);
                break;
            }
            times=times*2%mod;
        }
        printf("%d\n",ans>100000?-1:ans);
    }
    return 0;
}