[NOIP2016day2T1] 組合數問題(problem)

题目描述

组合数C(n,m)表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从（1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有（1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

C(n,m)=n!/m!(n-m)!

其中n! = 1 × 2 × · · · × n

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0 <= i <= n，0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足C(i,j)是k的倍数。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见 【问题描述】。

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

 

输出格式：

 

t行，每行一个整数代表答案。

 

输入输出样例

输入样例#1：

1 2
3 3

输出样例#1：

1

输入样例#2：

2 5
4 5
6 7

输出样例#2：

0
7

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有C(2,1)=2是2的倍数。

【子任务】

 

這個題，首先暴力思路是質因數分解。（70分）

#include<cstdio>
int t,k,n,m,ans,pd,a;
int s[8]={2,3,5,7,11,13,17,19};
int bz[8],bd[8];
int main(){
    freopen("problem.in","r",stdin);
    freopen("problem.ans","w",stdout);
    scanf("%d%d",&t,&k);
    for(int i=0;i<8&&k>=s[i];i++) while(k%s[i]==0){k/=s[i];bz[i]++;}
    while(t--){
        ans=0;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=i&&j<=m;j++){
            pd=1;
            for(int k=j+1;k<=i;k++){
                a=k;
                for(int l=0;l<8&&a>=s[l];l++) while(a%s[l]==0){a/=s[l];bd[l]++;}
            }
            for(int k=1;k<=i-j;k++){
                a=k;
                for(int l=0;l<8&&a>=s[l];l++) while(a%s[l]==0){a/=s[l];bd[l]--;}
            }
            for(int k=0;k<8;k++){
                if(bd[k]<bz[k]) pd=0;
                bd[k]=0;
            }
            ans+=pd;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}

然後，組合數有一個遞推公式，即C(i,j)=C(i-1,j)+C(i-1,j-1)，也就是大名鼎鼎的楊輝三角。

#include<cstdio>
int t,k,n,m,ans;
int c[2010][2010];
int main(){
    freopen("problem.in","r",stdin);
    freopen("problem.ans","w",stdout);
    scanf("%d%d",&t,&k);
    c[1][0]=c[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=2000;i++)
    for(int j=0;j<=i;j++){
        c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
        c[i][j]%=k;
    }
    while(t--){
        ans=0;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=i&&j<=m;j++)
        if(!c[i][j]) ++ans;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

 而後提前處理一下，把查詢變成O(1)。

 1 #include<cstdio>
 2 int t,k,n,m,a;
 3 int c[2010][2010];
 4 int ans[2010][2010];
 5 int main(){
 6     freopen("problem.in","r",stdin);
 7     freopen("problem.ans","w",stdout);
 8     scanf("%d%d",&t,&k);
 9     c[1][0]=c[1][1]=1;
10     for(int i=2;i<=2000;i++)
11     for(int j=0;j<=i;j++){
12         c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
13         c[i][j]%=k;
14     }
15     for(int i=1;i<=2000;i++){
16         a=0;
17         for(int j=0;j<i;j++){
18             if(!c[i][j]) ++a;
19             ans[i][j]=ans[i-1][j]+a;
20         }
21         for(int j=i;j<=2000;j++) ans[i][j]=ans[i][i-1];
22     }
23     while(t--){
24         scanf("%d%d",&n,&m);
25         printf("%d\n",ans[n][m]);
26     }
27     return 0;
28 }

NOIP第二水的題，而後。。。