算法笔记（2）：KMP 算法

合集 - 算法笔记(2)

1.算法笔记（1）：前缀和2024-11-21

2.算法笔记（2）：KMP 算法2024-12-03

收起

介绍

KMP算法（全称Knuth-Morris-Pratt字符串查找算法，由三位发明者的姓氏命名）是可以在文本串 $S$ 中 $O(|S|+|P|)$ 查找模式串 $P$ 的一种算法。

思想

考虑 $O(|S||P|)$ 的暴力匹配算法，对于文本串 $S$ 的每一位开始与模式串 $P$ 逐一匹配
缺点在于每次都要重新开始逐一匹配，不能充分利用前面匹配得到的信息，导致算法效率低下

那么我们需要考虑的问题是 匹配失败后从哪一位开始重新匹配最好？

首先，我们需要引入一些概念

前缀函数

子串：$S[i..j]$ $(i\le j)$，即 $S[i],S[i+1],\dots ,S[j]$
前缀：$Prefix(S,k)=S[0..k]$
真前缀：$Prefix(S,k)=S[0..k]$ $(k\ne |S|-1)$ 【不包含 $S$ 本身】
后缀：$Suffix(S,k)=S[k..|S|-1]$
真后缀：$Suffix(S,k)=S[k..|S|-1]$ $(k\ne 0)$ 【不包含 $S$ 本身】
公共前后缀：$Prefix(S,k)=Suffix(S,|S|-k-1)$
真公共前后缀：$Prefix(S,k)=Suffix(S,|S|-k-1)$ $(k\ne |S|-1)$ 【不包含 $S$ 本身】

定义 前缀函数 $\pi [i]$ ： $S[0..i]$ 的最长真公共前后缀的长度
即 $\pi [i]=\underset{k=0\dots i-1}{max}\{k:S[0..k]=S[i-k..i]\}$

怎么维护？

1. 暴力：枚举前缀子串 $O(n)$，枚举该串的前后缀 $O(n)$，比较 $O(n)$，总 $O(n^3)$

2. 注意到 $S[0..i]$ 的真公共前后缀 移除最后一位后的串 是 $S[0..i-1]$ 的真公共前后缀，我们可以根据这个构造递推方程

   对于 $k=0\dots i-2$，
   如果 $S[k+1]==S[i]$，$\pi [i]=max(\pi [i],\{k:S[0..k]=S[i-1-k..i-1]\}+1)$
   否则 $\pi [i]=max(\pi [i],0)$

   因此我们只需要从大到小枚举 $S[0..i-1]$ 的所有真公共前后缀进行匹配就可以得出 $S[0..i]$ 的最长真公共前后缀
   那么如何从大到小枚举 $S[0..i-1]$ 的所有真公共前后缀?
   $\stackrel{\pi [i-1]}{\overbrace{\underset{k}{\underbrace{S_0{S}_1}}{S}_2{S}_3}}\dots \stackrel{\pi [i-1]}{\overbrace{S_{i-4}{S}_{i-3}\underset{k}{\underbrace{S_{i-2}{S}_{i-1}}}}}{S}_i$
   假设下一个真公共前后缀 $S[0..k]=S[i-1-k..i-1]$ $(k<\pi [i]-1)$ ①
   因为 $S[0..\pi [i-1]-1]=S[i-\pi [i-1]..i-1]$
   即 $S[i-1-k..i-1]=S[\pi [i-1]-1-k..\pi [i-1]-1]$ ②
   那么 $S[0..k]=S[\pi [i-1]-1-k..\pi [i-1]-1]$ ①②

   如
   假设 $S_0{S}_1$ = $S_{i-2}{S}_{i-1}$ ①
   因为 $S_0{S}_1{S}_2{S}_3$ = $S_{i-4}{S}_{i-3}{S}_{i-2}{S}_{i-1}$
   即 $S_{i-2}{S}_{i-1}$ = $S_2{S}_3$ ②
   那么 $S_0{S}_1$ = $S_2{S}_3$ ①②

   由于 $S[0..k]=S[\pi [i-1]-1-k..\pi [i-1]-1]$ 且 这是下一个真公共前后缀
   即 $\pi [\pi [i-1]-1]=k$ 【$\pi \mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义}$】
   那么找下标为 $i-1$ 的下一个真公共前后缀 $\iff$ 找下标为 $\pi [i-1]-1$ 的最长公共前后缀

   综上，从大到小枚举 $S[0..k]$ 的所有真公共前后缀只需要不断地将 $k\to \pi [k]-1\to \pi [\pi [k]-1]-1\to ..-1$ 不断循环直到成功匹配或者枚举到-1即可

   因此，求 $S[i]$ ，令 $k=i-1$，按照上面的枚举方式不断循环即可
   如果成功匹配，那么 $\pi [i]=\pi [k]+1$
   否则 $\pi [i]=0$

   代码

   点击查看代码

   vector<int> getSuffixFunction(string S){//0-based
   	//"aabaaab"
   	int n = S.size();
   	vector<int> pi(n);
   	for(int i = 0; i < n; i ++ ){	//递推求pi
   		int k = i-1;
   		while(k != -1 && S[pi[k]] != S[i])k = pi[k]-1;	//从大到小枚举S[0..k]的所有真公共前后缀
   		//k == -1：说明枚举过程结束
   		//S[pi[k]] == S[i]：说明匹配成功
   		if(k == -1 || S[pi[k]] != S[i])pi[i] = 0;	//匹配失败
   		else pi[i] = pi[k] + 1;		//匹配成功
   	}
   	return pi;
   	//[0,1,0,1,2,2,3]
   }
   

理解前缀函数的递推后，字符串匹配就简单了
将模式串 $P$ 和 文本串 $S$ 按照 $P+?+S$ 【?为 $P$ 和 $S$ 中均没有出现的字符】的形式拼接求前缀函数即可
模式串在文本串中的条件为 $\pi [i]=|P|$，首位为 $i-2|P|$

如
模式串 $P$ = "ABA"
文本串 $S$ = "ABABA"
新串：$ABA?ABABA$
下标：$012345678$
$\pi$：$001012323$

代码

点击查看代码

	vector<int> KMP(string S,string P){//0-based
		S = P + "?" + S;
		int n = S.size();
		vector<int> pi(n);
		vector<int>res;
		for(int i = 0; i < n; i ++ ){
			int k = i-1;
			while(k != -1 && S[pi[k]] != S[i])k = pi[k]-1;
			if(k == -1 || S[pi[k]] != S[i])pi[i] = 0;
			else pi[i] = pi[k] + 1;
			if(pi[i] == P.size())res.push_back(i - 2*P.size());
			//返回首位
		}
		return res;
	}