算法笔记：前缀和（1）

前缀和

\(pre_i = pre_{i-1} + arr_i\)

绿 = 红 + 蓝

绿色：\(pre_i\)
红色：\(pre_{i-1}\)
蓝色：\(arr_i\)

---

\(sum_{l \to r} = pre_r - pre_{l-1}\)

蓝 = 绿 - 红

蓝色：\(sum_{l \to r}\)
绿色：\(pre_r\)
红色：\(pre_{l-1}\)

二维前缀和

\(pre_{i,j} = pre_{i-1,j} + pre_{i,j-1} + arr_{i,j} - pre_{i-1,j-1}\)

绿 = 黄 + 红 + 蓝 - 紫

绿色：\(pre_{i,j}\)
黄色：\(pre_{i-1,j}\)
红色：\(pre_{i,j-1}\)
蓝色：\(arr_{i,j}\)
紫色：\(pre_{i-1,j-1}\)

---

\(x_1 \le x_2\)，\(y_1 \le y_2\)，\(sum_{x_1,y_1 \to {x_2,y_2}} = pre_{x2,y2} - pre_{x_1-1,y_2} - pre_{x_2,y_1-1} + pre_{x_1-1,y_1-1}\)

蓝 = 绿 - 黄 - 红 + 紫

蓝色：\(sum_{x_1,y_1 \to {x_2,y_2}}\)
绿色：\(pre_{x_2,y_2}\)
黄色：\(pre_{x_1-1,y_2}\)
红色：\(pre_{x_2,y_1-1}\)
紫色：\(pre_{x_1-1,y_1-1}\)