单变量微积分学习笔记：线性和二阶近似（16）【3】

合集 - 单变量微积分学习笔记(17)

1.单变量微积分学习笔记：极限（1）2024-11-192.单变量微积分学习笔记：重要极限（2）【1，13】2024-11-193.单变量微积分学习笔记：函数的导数（3）【1】2024-11-194.单变量微积分学习笔记：函数的连续性及4种间断点（4）【1】2024-11-195.单变量微积分学习笔记：可导必连续（5）【3 ,4】2024-11-196.单变量微积分学习笔记：求导（6）【3】2024-11-197.单变量微积分学习笔记：四则运算求导法则（7）【6】2024-11-198.单变量微积分学习笔记：三角函数常用公式（8）2024-11-199.单变量微积分学习笔记：三角函数求导法则（9）【2，6，7，8】2024-11-1910.单变量微积分学习笔记：复合函数求导法则（10）【6】2024-11-1911.单变量微积分学习笔记：隐函数求导法则（11）【6，10】2024-11-1912.单变量微积分学习笔记：反函数求导法则（12）【6，9，11】2024-11-1913.单变量微积分学习笔记：指数函数与对数函数求导法则（13）【6，12】2024-11-1914.单变量微积分学习笔记：函数奇偶性（14）2024-11-1915.单变量微积分学习笔记：函数图像的伸缩变换（15）2024-11-19

16.单变量微积分学习笔记：线性和二阶近似（16）【3】2024-11-20

17.单变量微积分学习笔记：曲线构图（17）【3】2024-11-20

收起

线性近似

公式

$x\to x_0$，$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$【切线】

推导：
$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$【导数的定义】

推论

前提：$x\approx 0$，

$$\sin (x)\approx x$$

$$\cos (x)\approx 1$$

$$e^x\approx 1+x$$

$$ln(x+1)\approx x$$

$$(1+x{)}^n\approx 1+nx$$

几何意义：

$$\sin (x)\approx x$$

$$\cos (x)\approx 1$$

$$e^x\approx 1+x$$

$$ln(x+1)\approx x$$

$$(1+x{)}^n\approx 1+nx$$

二阶近似

$x\to x_0$，$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2}(x-x_0{)}^2$【曲线】

推导：
二阶近似为曲线 $f(x)=a+bx+c{x}^2$
$f^{\prime }(x)=b+2cx$
$f^{″}(x)=2c$
$c=\frac{f^{″}(x_0)}{2}$【为什么二次项系数是$\frac{1}{2}$的原因】

公式

$$\sin (x)\approx x$$

$$\cos (x)\approx 1-\frac{1}{2}{x}^2$$

$$e^x\approx 1+x+\frac{1}{2}{x}^2$$

$$\ln (x+1)\approx x-\frac{1}{2}{x}^2$$

$$(1+x{)}^n\approx 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}{x}^2$$

几何意义：

$$\sin (x)\approx x$$

$$\cos (x)\approx 1-\frac{1}{2}{x}^2$$

$$e^x\approx 1+x+\frac{1}{2}{x}^2$$

$$\ln (x+1)\approx x-\frac{1}{2}{x}^2$$

$$(1+x{)}^n\approx 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}{x}^2$$