单变量微积分学习笔记：线性和二阶近似（16）【3】
线性近似
公式
\(x \to x_0\)，\(f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)\)【切线】
推导：
\(f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)【导数的定义】
推论
前提：\(x \approx 0\)，
\[\sin(x) \approx x
\]
\[\cos(x) \approx 1
\]
\[e^x \approx 1 + x
\]
\[ln(x+1) \approx x
\]
\[(1+x)^n \approx 1 + nx
\]
几何意义：
\[\sin(x) \approx x
\]
\[\cos(x) \approx 1
\]
\[e^x \approx 1 + x
\]
\[ln(x+1) \approx x
\]
\[(1+x)^n \approx 1 + nx
\]
二阶近似
\(x \to x_0\)，\(f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2\)【曲线】
推导：
二阶近似为曲线 \(f(x)= a + bx + cx^2\)
\(f'(x)= b + 2cx\)
\(f''(x) = 2c\)
\(c = \frac{f''(x_0)}{2}\)【为什么二次项系数是\(\frac{1}{2}\)的原因】
公式
\[\sin(x) \approx x
\]
\[\cos(x) \approx 1 - \frac{1}{2}x^2
\]
\[e^x \approx 1 + x + \frac{1}{2}x^2
\]
\[\ln(x+1) \approx x - \frac{1}{2}x^2
\]
\[(1+x)^n \approx 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2
\]
几何意义：
\[\sin(x) \approx x
\]
\[\cos(x) \approx 1 - \frac{1}{2}x^2
\]
\[e^x \approx 1 + x + \frac{1}{2}x^2
\]
\[\ln(x+1) \approx x - \frac{1}{2}x^2
\]
\[(1+x)^n \approx 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2
\]
