单变量微积分学习笔记：指数函数与对数函数求导法则（13）【6，12】

合集 - 单变量微积分学习笔记(17)

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13.单变量微积分学习笔记：指数函数与对数函数求导法则（13）【6，12】2024-11-19

14.单变量微积分学习笔记：函数奇偶性（14）2024-11-1915.单变量微积分学习笔记：函数图像的伸缩变换（15）2024-11-1916.单变量微积分学习笔记：线性和二阶近似（16）【3】2024-11-2017.单变量微积分学习笔记：曲线构图（17）【3】2024-11-20

收起

公式

$(a^x{)}^{\prime }=\ln (a)a^x$
$(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln (a)}$

证明

$(a^x{)}^{\prime }=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{x+\mathrm{\Delta }x}-a^x}{\mathrm{\Delta }x}=a^x\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}$
假设当 $a$ 取 $e$ 时 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{x+\mathrm{\Delta }x}-a^x}{\mathrm{\Delta }x}=1$ 即 $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
$y=a^x=e^{x\ln (a)}$
$y^{\prime }=\ln (a)e^{x\ln (a)}$
$y^{\prime }=\ln (a)a^x$
因此 $(a^x{)}^{\prime }=\ln (a)a^x$

---

$y={\log }_a(x)$
$a^y=x$
$\ln (a)a^y{y}^{\prime }=1$
$y^{\prime }=\frac{1}{\ln (a)a^y}$
$y^{\prime }=\frac{1}{x\ln (a)}$
$(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln (a)}$