单变量微积分学习笔记：四则运算求导法则（7）【6】

合集 - 单变量微积分学习笔记(17)

1.单变量微积分学习笔记：极限（1）2024-11-19 2.单变量微积分学习笔记：重要极限（2）【1，13】2024-11-19 3.单变量微积分学习笔记：函数的导数（3）【1】2024-11-19 4.单变量微积分学习笔记：函数的连续性及4种间断点（4）【1】2024-11-19 5.单变量微积分学习笔记：可导必连续（5）【3 ,4】2024-11-19 6.单变量微积分学习笔记：求导（6）【3】2024-11-19

7.单变量微积分学习笔记：四则运算求导法则（7）【6】2024-11-19

公式

$(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$
$(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'} v - v^{'} u}{v^{2}}$

证明（导数的定义）

$(u \pm v)^{'} = lim_{Δ x \to 0} \frac{(u (x + Δ x) \pm v (x + Δ x)) - (u (x) \pm v (x))}{Δ x}$
$= lim_{Δ x \to 0} \frac{(u (x + Δ x) - u (x)) \pm (v (x + Δ x) - v (x))}{Δ x}$
$= u^{'} \pm v^{'}$

$(u v)^{'} = lim_{Δ x \to 0} \frac{u (x + Δ x) \cdot v (x + Δ x) - u (x) \cdot v (x)}{Δ x}$
$= lim_{Δ x \to 0} \frac{v (x + Δ x) \cdot (u (x + Δ x) - u (x)) + u (x) \cdot (v (x + Δ x) - v (x))}{Δ x}$
$= u^{'} v + u v^{'}$

$(\frac{u}{v})^{'} = lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{u (x + Δ x)}{v (x + Δ x)} - \frac{u (x)}{v (x)}}{Δ x}$
$= lim_{Δ x \to 0} \frac{u (x + Δ x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v (x + Δ x)}{Δ x \cdot v (x + Δ x) \cdot v (x)}$
$= lim_{Δ x \to 0} \frac{v (x) \cdot (u (x + Δ x) - u (x)) - u (x) \cdot (v (x + Δ x) - v (x))}{Δ x \cdot v (x + Δ x) \cdot v (x)}$
$= \frac{u^{'} v - v^{'} u}{v^{2}}$