2.单变量微积分学习笔记：重要极限（2）【1，13】2024-11-19

两个重要极限

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1$
$lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

证明

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1$

$x \to 0$ ，弧趋于直线，即 $lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1$

$lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$
证法1：导数定义
$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x}} = e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - \ln (1)}{x}} = e^{lim_{Δ x \to 0} \frac{\ln (1 + Δ x) - \ln (1)}{Δ x}} = e^{\ln^{'} (1)} = e$

证法2：线性近似
$x \to 0$ ， $e^{\frac{1}{x} l n (1 + x)} \approx e^{\frac{1}{x} x} = e$

posted @ 2024-11-19 10:21 Keith- 阅读(6) 评论(0) 编辑收藏举报

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