单变量微积分学习笔记：求导（6）【3】

合集 - 单变量微积分学习笔记(17)

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6.单变量微积分学习笔记：求导（6）【3】2024-11-19

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常见

$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$

$(sin(x){)}^{\prime }=cos(x)$

$(cos(x){)}^{\prime }=-sin(x)$

$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$

1. $n\in Z^{+}$

   $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^n-x^n}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{n{x}^{n-1}\mathrm{\Delta }x+O(\mathrm{\Delta }{x}^2)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}n{x}^{n-1}+O(\mathrm{\Delta }x)=n{x}^{n-1}$（二项式定理）

2. $n\in Z$

   $n<0,(x^n{)}^{\prime }=(\frac{1}{x^{-n}}{)}^{\prime }=\frac{n{x}^{-n-1}}{x^{-2n}}=n{x}^{n-1}$（除法求导法则）

3. $n\in Q$

   $y=x^n=x^{\frac{a}{b}}$，$y^b=x^a$

   $b{y}^{b-1}{y}^{\prime }=a{x}^{a-1}$（隐式求导法则）

   $y^{\prime }=\frac{a}{b}{x}^{\frac{a}{b}-1}=n{x}^{n-1}$

$(e^x{)}^{\prime }=e^x$