单变量微积分学习笔记：函数的连续性及4种间断点（4）【1】

合集 - 单变量微积分学习笔记(17)

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4.单变量微积分学习笔记：函数的连续性及4种间断点（4）【1】2024-11-19

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收起

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$$

左连续和右连续

$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=f(x_0)$

注意：讨论是否连续的前提是函数在该点 $x_0$ 左右邻域均有定义（不需要在 $x_0$ 处有定义）

如我们不讨论 $\sqrt{x}$ 在 $0$ 处的连续性，因为 $\sqrt{x}$ 在 $0^{-}$ 没有定义

可以讨论 $\frac{1}{x}$ 在 $0$ 处的连续性，因为 $\frac{1}{x}$ 在 $0^{-}$ 和 $0^{+}$ 均有定义，尽管在 $0$ 处没有定义

不连续的情况

1. 跳跃间断点（Jump Discontinuities）

   $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$

2. 可去间断点（Removable Discontinuities）

   $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x),f(x_0)$不存在

3. 无穷间断点（Infinite Discontinuities）

   $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }\vee \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$

4. 震荡间断点（Other Discontinuities）

   $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=?\vee \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=?$