乘法逆元

在数论中，如果a和m是正整数，且它们互质，那么a在模m意义下的逆元是一个正整数x，满足ax ≡ 1 (mod m)。也就是说，x是一个整数，满足ax除以m的余数为1。

求解a模m意义下的逆元有多种方法，其中一种常见的方法是使用快速幂算法。以下是使用快速幂算法求解a模m意义下的逆元的示例代码：

int64_t modpow(int64_t a, int64_t b, int64_t m) {
    int64_t ans = 1;
    a %= m;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) {
            ans = ans * a % m;
        }
        a = a * a % m;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int64_t modinv(int64_t a, int64_t m) {
    return modpow(a, m - 2, m);
}

其中，modpow函数使用快速幂算法计算a的b次方模m的结果，modinv函数使用快速幂算法计算a模m意义下的逆元。这里使用了费马小定理，即a^(p-1) ≡ 1 (mod p)（p是质数），因此可以将逆元计算为a^(m-2)模m的结果。

需要注意的是，在使用快速幂算法计算幂次时，由于指数可能很大，可能会导致数据溢出。因此，在计算过程中，应该对每一步的结果都取模，以保证结果不会溢出。

另外，还需要注意的是，只有当a和m互质时，a模m的逆元才存在。如果a和m不互质，那么a模m的逆元不存在。