Googol字符串【Google Kickstart2015 Round A Problem A】

Googol字符串

“0/1字符串”是一个字符串，其中每个字符都是 0或 1。

有两个操作可以在 0/1字符串上执行：

switch：把 1都变为 0，0都变为 1。例如，100 变为 011。
reverse：字符串反转。 例如，100 变为 001。
考虑这个 0/1 字符串的无限序列：

S0=“”

S1=“0”

S2=“001”

S3=“0010011”

S4=“001001100011011”

…

SN=SN−1+“0”+switch(reverse(SN−1))

请你求出Sgoogol中的第K个字符，其中googol=10100。

输入格式

第一行包含整数 T，表示共有 T组测试数据。

每组数据占一行，包含一个整数 K。

输出格式

每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

结果表示为 Case #x: y，其中 x
是组别编号（从 1
开始），y
是 Sgoogol
中的第 K
个字符。

数据范围

1≤T≤100
,
1≤K≤10^18

输入样例：

4
1
2
3
10
输出样例：

Case #1: 0
Case #2: 0
Case #3: 1
Case #4: 0

思路

$$S_1{=}^{\prime }{0}^{\prime }$$

$$S_1^{\prime }{=}^{\prime }{1}^{\prime }$$

$$S_2=S_1{+}^{\prime }{0}^{\prime }+S_1^{\prime }=001$$

$$S_2^{\prime }=S_1{+}^{\prime }{1}^{\prime }+S_1^{\prime }=011$$

$$S_3=S_2{+}^{\prime }{0}^{\prime }+S_2^{\prime }=S_1{+}^{\prime }{0}^{\prime }+S_1^{\prime }{+}^{\prime }{0}^{\prime }+S_1{+}^{\prime }{1}^{\prime }+S_1^{\prime }=0010010$$

$$S_3^{\prime }=S_2{+}^{\prime }{1}^{\prime }+S_2^{\prime }=S_1{+}^{\prime }{0}^{\prime }+S_1^{\prime }{+}^{\prime }{1}^{\prime }+S_1{+}^{\prime }{1}^{\prime }+S_1^{\prime }=0011011$$

通过把玩前三项，容易得到通式$S_n=S_{n-1}{+}^{\prime }{0}^{\prime }+S_{n-1}^{\prime }$和$S_n^{\prime }=S_{n-1}{+}^{\prime }{1}^{\prime }+S_{n-1}^{\prime }$

$$L_n=2L_{n-1}+1$$

$$\frac{L_n+1}{L_{n-1}+1}=2$$

因此，长度通式$L_n=2^n-1$

$$k\le 2^n-1$$

$$n\ge lo{g}_2(k+1)$$

$$n=\lceil lo{g}_2(k+1)\rceil$$

因此，第k个数在$S_{\lceil lo{g}_2(k+1)\rceil }$内
然后比较判断k在三部分中哪一部分递归处理就好啦(
注意标记一下是$S_{n-1}$还是$S_{n-1}^{\prime }$

代码

点击查看代码

#include<iostream>
#include<cmath>
typedef long long LL;
const char nl = '\n';
using namespace std;


int get(LL n,LL k,int type){
    LL t = (1ll << (n - 1)) - 1;
    if(k == (t + 1))return type;
    else if(k <= t)return get(n - 1,k,0);
    else return get(n - 1,k - t - 1,1);
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    int T;
    cin >> T;
    for(int i = 1; i <= T; i ++ ){
        LL k;
        cin >> k;
        cout << "Case #" << i << ": " << get(ceil(log2(k+1)),k,0) << nl;
    }
}