排列与二进制【吉林大学考研机试题】

排列与二进制

在组合数学中，我们学过排列数。

从 n 个不同元素中取出 m（m<=n）个元素的所有排列的个数，叫做从 n 中取 m 的排列数，记为 p(n,m)。

具体计算方法为 p(n,m)=n(n−1)(n−2)……(n−m+1)=n!/(n−m)!（规定 0!=1）。

当 n 和 m 不是很小时，这个排列数是比较大的数值，比如 p(10,5)=30240。

如果用二进制表示为 p(10,5)=30240=(111011000100000)b，也就是说，最后面有 5 个零。

我们的问题就是，给定一个排列数，算出其二进制表示的后面有多少个连续的零。

输入格式
输入包含多组测试数据。

每组数据占一行，包含两个整数 n,m。

最后一行为 0 0，表示输入结束，无需处理。

输出格式
每组数据输出一行，一个结果，表示排列数 p(n,m) 的二进制表示后面有多少个连续的零。

数据范围
1≤m≤n≤10000,
输入最多包含 100 组数据。

输入样例：
10 5
6 1
0 0
输出样例：
5
1

思路

求乘积二进制有多少个连续的零，即求各个因子有多少个连续的0求和即可(注意这里暴力会tle)
i&-i得到的是最后二进制中最后1个1与后面的0所组成的数，求log可得

\[A_{n}^{m} = n(n−1)(n−2)……(n−m+1) = 2^k * x \]

\[2^k = 2^{k_{n-m+1}+...+k_n} \]

代码

点击查看代码

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

int main(){
    int n,m;
    while(cin >> n && cin >> m){
        if(!n && !m)break;
        long long ans = 0;
        for(int i = n - m + 1; i <= n; i ++)ans += log2(i&-i);
        cout << ans << '\n';
    }
}