A 清楚姐姐学信息论【2023牛客寒假算法基础集训营4】

A 清楚姐姐学信息论

原题链接

题意

给出$a,b$，问当$a,b$的值为多少时$a^b>b^a$

思路

$a^b>b^a$
$blna>alnb$
$\frac{lna}{a}>\frac{lnb}{b}$
令$f(x)=\frac{lnx}{x}$
$f^{\prime }(x)=\frac{1-lnx}{x^2}$
令$f^{\prime }(x)=0$
$x=e$
当$0<x<e$时$f^{\prime }(x)>0$
当$x>e$时$f^{\prime }(x)<0$
$f(x)\mathrm{在}(0，e)\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{递}\mathrm{增}，\mathrm{在}(e,+\mathrm{\infty })\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{递}\mathrm{减}$，极大值$(e,\frac{1}{e})$

有三种情况

1. $a>e$,$b>e$ ->单调递减->min(a,b)
2. $a<e$,$b<e$ ->单调递增->max(a,b)
3. $min(a,b)<e$ , $max(a,b)>e$
   由于题目范围$2\le a,b\le {10}^9$
   只需讨论$min(a,b)=2$即可
   即当$2<max(a,b)<=4$ ->$2$
   当$max(a,b)\ge >4$ ->$max(a,b)$

代码

点击查看代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;

#define X first
#define Y second

typedef long long LL;
const char nl = '\n';
const int N = 1e6+10;
int n,m;

void solve(){
    int a,b;
    cin >> a >> b;
    if(a > 2 && b > 2)cout << min(a,b);
    else if(a == 2 && b == 2)cout << 2;
    else{
        if(max(a,b) < 4)cout << max(a,b);
        else cout << min(a,b);
    }
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);

	solve();
}

补充

问题的背景是进制效率
x进制和y进制分别使用$x\cdot y$张号码牌时x进制能够表示的数字数目大于y进制，则称x进制的信息表示效率大于y进制
简单来说，在两种进制每个位数都被填满的情况下，相同数目个数的数字能表式的数字更大则效率越高
透过题目我们可以得到

1. 对于整数进制而言，进制效率：$3>2=4>5>6>7>...$
2. 理论上e进制效率最高

点击查看代码

	if(min(a,b) == 2 && max(a,b)==3)cout << 3;	//只有一种情况是例外
	else cout << min(a,b);	//否则都是进制数小的效率越高