D 宿命之间的对决【2023牛客寒假算法基础集训营3】

D 宿命之间的对决

原题链接

题意

• 现在给定一个正整数n，小红和小紫轮流操作，每次取n的一个因子x，使得n减去x。谁先将n减到0谁输。
  小红先手操作，她想知道在双方足够聪明的情况下，谁会获得最终的胜利？

思路

1. 奇偶相加减，（同偶异奇）

设奇数a为$2k_1+1$，奇数b为$2k_2+1$，偶数c为$2k_3$，偶数d为$2k_4$.($k\in Z$)
奇 $-$ 奇 $=$ 偶
$(2k_1+1)-(2k_2+1)=2(k_1-k_2)=2k_{new}$
奇 $-$ 偶 $=$ 奇
$(2k_1+1)-2k_3=2(k_1-k_3)+1=2k_{new}+1$
偶 $-$ 偶 $=$ 偶
$2k_3-2k_4=2(k_3-k_4)=2k_{new}$
偶 $-$ 奇 $=$ 奇
$2k_3-(2k_1+1)=2(k_3-k_1)-1=2k_{new}+1$

2. 奇数的因子中一定没有偶数，偶数的因子中一定有奇数和偶数
   $\Rightarrow$ 奇数只能变为偶数，偶数总能变为奇数

3. 递推

$n=1$时，先手只能减去因子1变为0，因此先手必败
$n=2$时，先手可以选择减去因子1，后手变为$n=1$时的必败态，因此$n=2$时先手必胜
$n=3$时，先手只能减去因子1，后手变为$n=2$时的必生态，因此$n=3$时先手必败
$n=4$时，先手可以选择减去因子1，后手变为$n=3$时的必败态，因此$n=4$时先手必胜
$n=$偶数,偶数总能变为奇数,奇数只能变为偶数,因此先手只要每次减为奇数就能保持自己是偶数
$n=$奇数,奇数只能变为偶数,偶数总能变为奇数,因此后手只要每次减为奇数就能保持自己是偶数
$\Rightarrow$ 偶数先手总是能转变为前后已有的后手的必败态，奇数先手只能转变为前后已有的后手的必胜态
$\Rightarrow$ 偶数先手必胜，奇数先手必败

代码

点击查看代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;

#define X first
#define Y second

typedef long long LL;
const char nl = '\n';

void solve(){
	LL n;
	cin >> n;
	if(n%2)cout << "yukari";
	else cout << "kou";

}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);

		solve();
	
}