统计次数【清华大学考研机试题】

统计次数

给定两个正整数 $n$ 和 $k$，求从 $1$ 到 $n$ 这 $n$ 个正整数的十进制表示中 $k$ 出现的次数。

输入格式
共一行，包含两个整数 $n$ 和 $k$。

输出格式
输出一个整数，表示答案。

数据范围
$1\le n\le {10}^6,$
$1\le k\le 9$
输入样例：
12 1
输出样例：
5
样例解释
从 $1$ 到 $12$ 这些整数中包含 $1$ 的数字有 $1,10,11,12，$一共出现了 $5$ 次 $1$。

暴力 $O(nlogn)$(174 ms)

具体实现
从 1 遍历到 n，分别统计每个数中 k 出现的次数。
不断取 x 的末尾，判断它是否为 k，再把 x 除以 10（舍弃末位）。

点击查看代码

#include<iostream>

using namespace std;
typedef long long LL;
int n,k;
LL ans;

int main(){
	cin >> n >> k;
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ){
		int t = i;
		while(t){
			if(t % 10 == k)ans ++;
			t /= 10;
		}
	}
	cout << ans;
}

数位DP $O(n)$(62 ms)

$f[i]$ 表示 $i$ 中含有几个 $k$。观察可得到转移方程 $fi=f\lfloor i/10\rfloor +(i\mathrm{\%}10==k)$，其中 $bj$ 为 $j$ 是否等于 $k（0\le j\le 9）$。如此递推即可

点击查看代码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
int n,k;
int f[N];
LL ans;

int main(){
	cin >> n >> k;
	for(int i = 1; i <= n; i ++ )f[i] = f[i / 10] +  (i % 10 == k),ans += f[i];
	cout << ans;
}