★k倍区间【第八届蓝桥杯省赛C++B组,第八届蓝桥杯省赛JAVAB组】

k倍区间

给定一个长度为 $N$ 的数列，$A1,A2,\dots AN$，如果其中一段连续的子序列 $Ai,Ai+1,\dots Aj$ 之和是 $K$ 的倍数，我们就称这个区间 $[i,j]$是 $K$ 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K 倍区间吗？

输入格式
第一行包含两个整数 N 和 K。

以下 N 行每行包含一个整数 $Ai$。

输出格式
输出一个整数，代表 K 倍区间的数目。

数据范围
$1\le N,K\le 100000,$
$1\le Ai\le 100000$
输入样例：
5 2
1
2
3
4
5
输出样例：
6

思路

1. 前缀和

Code

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath> 
#include<algorithm>
#include<vector>
#define endl '\n'
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
LL cnt[N]; 	//妙！
int n,k;
LL ans,a1,a2;

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	
	cin >> n >> k;
	cnt[0] = 1;	
	//余数为0时存在长度为1的k倍区间
	//基数为1则如果数组中存在有长度为1的k倍区间，范围变为（0~r）
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ){
		a1 = a2;	//前缀和只用当前和上一个：滚动数组优化空间 
		cin >> a2;	//输入当前 
		a2 += a1;	//自身求前缀和
		a2 %= k;	//求余数 
		ans += cnt[a2];	//先算ans后++维护l = (0~r-1) 
		cnt[a2] ++;		
		//这两段代码的意思是r固定时，从l = (0~r-1) 找到同余的个数
		//则所记录的k倍区间的长度大于1
	}
	cout << ans;
	return 0;
}